6.1.1 微商

1. 函数的微商或导数

若极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}$ 存在且有限,则称该极限为函数 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 处的微商. 若对每个 $x$ ,当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时,函数增量 $\mathrm{\Delta }y$ 与自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的商的极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$ 存在,则称它为函数 $y=f\left(x\right)$ 的导函数,记为

$$\begin{array}{}\text{(6.1)}& f^{\prime }\left(x\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}.\end{array}$$

$y=f\left(x\right)$ 关于变量 $x$ 的导函数是 $x$ 的另一个函数,还可记为 $y^{\prime },\dot{y},Dy,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},Df\left(x\right)$ 或 $\frac{\mathrm{d}f\left(x\right)}{\mathrm{d}x}$ .

2. 导数的几何表示

在笛卡儿坐标系中函数 $y=f\left(x\right)$ 如图 6.1 所示. 若 $x$ 轴和 $y$ 轴单位相同,则

$$\begin{array}{}\text{(6.2)}& f^{\prime }\left(x\right)=\tan \alpha .\end{array}$$

$x$ 轴与曲线在一点处切线的夹角 $\alpha$ 定义了角系数或切线的斜率 (参见第 327 页 3.6.1.2,2.),从 $x$ 轴的正方向逆时针到切线的角称为坡度角或倾斜角.

3. 可微性

由微商的定义易得: 对 $x$ ,当微商 (6.1) 取有限值时, $f\left(x\right)$ 关于 $x$ 可微. 导函数的定义域是原函数定义域的子集 (真子集或平凡子集). 若函数在点 $x$ 连续,但是导数不存在,则函数 $f\left(x\right)$ 在该点无切线,或者切线垂直于 $x$ 轴,后者表现为 (6.1) 的极限为无穷,记为 $f^{\prime }\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ .

$◼\mathbf{A}$: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}:f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}},f^{\prime }\left(0\right)=\mathrm{\infty }$ . 在点 $x=0$ 处极限 (6.1) 趋于无穷, 因此在该点导数不存在 (图 6.2(a)).

$◼\mathbf{B}$: $f\left(x\right)=x\sin \frac{1}{x},x\ne 0$ . 在点 $x=0$ 处函数无定义,但极限为 0,因此写成 $f\left(0\right)=0$ ,然而 $x=0$ 处极限 (6.1) 不存在 (图 6.2(b)).

4. 左、右侧可微性

当 $x=a$ 时,若极限 (6.1) 不存在,但左极限或右极限存在,则分别称其为左导数或右导数. 若左、右极限都存在, 则曲线在此处有两正切值

$$\begin{array}{}\text{(6.3)}& f^{\prime }\left(a-0\right)=\tan {\alpha }_1,f^{\prime }\left(a+0\right)=\tan {\alpha }_2.\end{array}$$

从几何上来看, 意味着曲线有一个尖点 (knee) (图 6.2(c), 图 6.3).

If $\left(x\right)=\frac{x}{1+{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}},x\ne 0$ . 当 $x=0$ 时函数无定义,但在 $x=0$ 处极限为 0,因此记为 $f\left(0\right)=0.f\left(x\right)$ 的 (6.1) 形式在 $x=0$ 处无极限,但有左极限 $f^{\prime }\left(-0\right)=1$ 和右极限 $f^{\prime }\left(+0\right)=0$ ,即此处为曲线尖点 (图 6.2(c)).