17.2.5 奇异吸引子与混沌

1. 混沌吸引子

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 是度量空间 $\left(M,\rho \right)$ 上动力系统,称该系统的吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 是混沌的, 如果系统在 $\mathrm{\Lambda }$ 上有对初始条件的敏感依赖性.

对 “初始条件的敏感依赖性” 可以有几种不同的解释. 例如, 如果满足下述两条件之一:

**a) $\{\ast \ast {\phi }^t\}$ 在 $\mathrm{\Lambda }$ 上的所有运动某意义上都是不稳定的.

**b) $\{\ast \ast {\phi }^t\}$ 关于支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上的某不变的遍历概率测度的最大李雅普诺夫指数是正的.

$◼$ 螺线管满足 a) 意义下的敏感依赖性. 埃农吸引子满足上述性质 b).

2. 分形与奇异吸引子

称 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 的吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 是分形的,如果它既不是由有限个点、分段可微曲线或曲面组成, 也不是由闭的分段可微曲线作为边界的集合. 称一个吸引子为奇异的, 如果它是混沌或者分形的, 或者二者都是. 混沌、分形以及奇异的概念对紧不变集可类似定义, 即使它们不是一个吸引子. 称一个动力系统为混沌的, 如果它有一个紧不变的混沌集合. 映射

$$\begin{array}{}\text{(17.58)}& x_{n+1}=2x_n+y_n\left(\mathrm{mod}1\right),y_{n+1}=x_n+y_n\left(\mathrm{mod}1\right)\end{array}$$

是定义在单位方形上的阿诺索夫 (Anosov)微分同胚,该系统可看作定义在环面 $T^2$ 上. 该系统是保守的, 勒贝格测度为其不变测度. 该系统有可数多条周期轨道, 且它们的并集稠密. 该系统是混合的. $\mathrm{\Lambda }=T^2$ 是维数等于 2 的不变集.

3. 德瓦尼 (Devaney) 意义下的混沌系统

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 是度量空间 $\left(M,\rho \right)$ 上的动力系统, $\mathrm{\Lambda }$ 是一个紧不变集合. 系统 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ (或集合 $\mathrm{\Lambda }$ ) 称为在德瓦尼意义下混沌,如果:

**a) ${\{\ast \ast {\phi }^t\}}_{t\in \gamma }$ 在 $\mathrm{\Lambda }$ 上拓扑传递,即存在一个在 $\mathrm{\Lambda }$ 上稠密的正半轨.

**b) ${\{\ast \ast {\phi }^t\}}_{t\in \gamma }$ 的周期轨道在 $\mathrm{\Lambda }$ 中稠.

**c) ${\{\ast \ast {\phi }^t\}}_{t\in \gamma }$ 在 $\mathrm{\Lambda }$ 上 Guckenheimer 意义下敏感依赖于初始条件,即

$$\begin{array}{}\text{(17.59)}& \mathrm{\exists }\epsilon >0,\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Lambda },\mathrm{\forall }\delta >0,\mathrm{\exists }y\in \mathrm{\Lambda }\cap U_{\delta }\left(x\right),\mathrm{\exists }t\ge 0:\rho \left({\phi }^{t}x,{\phi }^{t}y\right)\ge \epsilon ,\end{array}$$

其中 $U_{\delta }\left(x\right)=\{z\in M:\rho \left(x,z\right)<\rho \}$ .

$◼$考虑(0,1)序列空间

$$\sum =\left\{s=s_0{s}_1{s}_2\cdots ,s_i\in \{0,1\}\left(i=0,1,\cdots \right)\right\}.$$

对 $s=s_0{s}_1{s}_2\cdots$ 及 $s^{\prime }=s_0^{\prime }{s}_1^{\prime }{s}_2^{\prime }\cdots$ ,定义二者距离为

$$\rho \left(s,s^{\prime }\right)=\{\begin{array}{ll}0,& s=s^{\prime },\\ 2^{-j},& s\ne s^{\prime },\end{array}$$

其中 $j$ 为满足 $s_j\ne s_{j^{\prime }}$ 的最小指标. 则 $\left(\sigma ,\rho \right)$ 是一个完备度量空间,且是紧的.

映射 $\rho :s=s_0{s}_1{s}_2\cdots \mapsto \sigma \left(s\right)=s^{\prime }=s_1{s}_2{s}_3\cdots$ 称为伯努利转移.

伯努利转移在德瓦尼意义下是混沌的.