12.9.1 集代数和测度

引进测度的原始想法是推广 $\mathbb{R}$ 中区间的长度、 ${\mathbb{R}}^2$ 中区域的面积和 ${\mathbb{R}}^3$ 中子集的体积等的概念. 为了 “度量” 尽可能多的集合, 并让尽可能多的函数 “可积”, 这样的推广是必须的. 例如, $n$ 维长方体

$$\begin{array}{}\text{(12.206)}& Q=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:a_k\le x_k\le b_k\left(k=1,2,\cdots \right)\right\}\text{ 的体积为 }\prod _{k=1}^n\left(b_k-a_k\right).\end{array}$$

1. $\sigma$ 代数或集代数

设 $X$ 是一任意集合. $X$ 的一组非空子集 $\mathcal{A}$ 称作 $\sigma$ 代数,是指 a) $A\in \mathcal{A}$ 蕴涵 $X\setminus A\in \mathcal{A}$ .(12.207a)b) $A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots \in \mathcal{A}$ 蕴涵 $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in \mathcal{A}$ .(12.207b)

2. 测度

定义在 $\sigma$ 代数 $\mathcal{A}$ 上的函数 $\mu :\mathcal{A}\to {\bar{\mathbb{R}}}_{+}={\mathbb{R}}_{+}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ 称作测度,是指 a) $\mu \left(A\right)\ge 0,\mathrm{\forall }A\in \mathcal{A}$ ,(12.208a)

**b) $\mu \ast \ast \left(\varnothing \right)=0$ ,(12.208b)

**c) $A_1,A_2,\cdots \ast \ast ,A_n,\cdots \in \mathcal{A},A_k\cap A_{\ell }=\varnothing \left(k\ne \ell \right)$ 蕴涵 $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu \left(A_n\right).$ (12.208c)

性质 c) 称作测度的可加性. 如果 $\mu$ 是 $\mathcal{A}$ 上的测度,并且 $A,B\in \mathcal{A},A\subset B$ , 则 $\mu \left(A\right)\le \mu \left(B\right)$ (单调性). 如果 $A_n\in \mathcal{A}\left(n=1,2,\cdots \right)$ ,并且 $A_1\subset A_2\subset \cdots$ ,那么 $\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mu \left(A_n\right)$ (下连续性).

设 $\mathcal{A}$ 是 $X$ 的子集的 $\sigma$ 代数,并且 $\mu$ 是 $\mathcal{A}$ 上的测度. 三重组 $X=\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ 称作测度空间,并且 $\mathcal{A}$ 中的集合称作可测集或 $\mathcal{A}$ 可测集.

$◼\mathbf{A}$ : 计数测度 设 $X$ 是有穷集 $\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_N\right\},\mathcal{A}$ 是 $X$ 的所有子集的 $\sigma$ 代数,并对每一 $x_k$ 指定一非负数 $p_k\left(k=1,2,\cdots ,N\right)$ . 那么对于每个集合 $A\in \mathcal{A}$ , $A=\left\{x_{n_1},x_{n_2},\cdots ,x_{n_k}\right\}$ ,令 $\mu \left(A\right)=p_{n_1}+p_{n_2}+\cdots +p_{n_k}$ ,则 $\mathcal{A}$ 上的函数 $\mu$ 就是一个测度,它仅取有穷多个值,因为 $\mu \left(X\right)=p_1+p_2+\cdots +p_N<\mathrm{\infty }$ . 这个测度称作计数测度.

$◼\mathbf{B}$ : 狄拉克测度 设 $\mathcal{A}$ 是集合 $X$ 的子集的 $\sigma$ 代数, $a$ 是 $X$ 中任意给定的点,令

$$\begin{array}{}\text{(12.209a)}& {\delta }_a\left(A\right)=\{\begin{array}{ll}1,& a\in A,\\ 0,& a\notin A,\end{array}\end{array}$$

则 ${\delta }_a$ 是一个测度 (称作狄拉克测度). (12.209a) 称作 (集中在 $a$ 的) $\delta$ 函数. 由 $X$ 到 $\{0,1\}$ 的函数 ${\chi }_A:X\to \{0,1\}$ 表示子集 $A\subseteq X$ 的特征函数,它在 $x\in A$ 处取值 1,而在所有别的 $x$ 处取值 0 :

$$\begin{array}{}\text{(12.209b)}& {\chi }_A\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in A,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}\end{array}$$

显然, ${\delta }_a\left(A\right)={\delta }_a\left({\chi }_A\right)={\chi }_A\left(a\right)$ (参见第 890 页 12.5.4),其中 ${\chi }_A$ 表示集合 $A$ 的特征函数.

$◼\mathbf{C}$ : 勒贝格测度

设 $X$ 是距离空间, $\mathcal{B}\left(X\right)$ 是包含 $X$ 中所有开集的 $X$ 的子集的最小 $\sigma$ 代数. $\mathcal{B}\left(X\right)$ 是存在的,它就是包含所有开集的所有 $\sigma$ 代数之交,称作博雷尔 $\sigma$ 代数. $\mathcal{B}\left(X\right)$ 中每个元称作博雷尔集 (参见 [12.6]).

现在假定 $X={\mathbb{R}}^n\left(n\ge 1\right)$ . 使用扩张方法,可以构建一 $\sigma$ 代数和其上的测度, 而且 ${\mathbb{R}}^n$ 中长方体的测度正好就是其体积. 更确切地说,存在唯一确定的 $R^n\left(n\ge 1\right)$ 的子集组成的 $\sigma$ 代数 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{A}$ 上唯一确定的测度 $\lambda$ 具有如下性质:

a) ${\mathbb{R}}^n$ 的每个开集属于 $\mathcal{A}$ ,即 $\mathcal{B}\left({\mathbb{R}}^n\right)\subset \mathcal{A}$ .

b) 如果 $A\in \mathcal{A},\lambda \left(A\right)=0$ ,并且 $B\subset A$ ,那么 $B\in \mathcal{A}$ ,并且 $\lambda \left(B\right)=0$ .

c) 如果 $Q$ 是一长方体,那么 $Q\in \mathcal{A}$ ,并且 $\lambda \left(Q\right)=\prod _{k=1}^n\left(b_k-a_k\right)$ .

d) $\lambda$ 是平移不变的,即对于每个向量 $x\in X={\mathbb{R}}^n$ 和每个集合 $A\in \mathcal{A}$ ,有 $x+A=\{x+y:y\in A\}\in \mathcal{A}$ ,并且 $\lambda \left(x+A\right)=\lambda \left(A\right)$ .

$\mathcal{A}$ 中的元称作 ${\mathbb{R}}^n$ 的勒贝格可测子集,而 $\lambda$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 (n 维) 勒贝格测度.

注 在测度论和积分理论中, 人们常说某个命题 (或性质, 或条件) 相对于测度 $\mu$ 在 $X$ 的一个集上几乎处处或 $\mu$ 几乎处处成立,是指命题不成立的点集的测度为零. 这个事实记作 a.e. 或 $\mu$ -a.e. ${}^{\oplus }$ . 例如,如果 $\lambda$ 是 $\mathbb{R}$ 上的勒贝格测度, $A,B$ 是两个不相交的集合,使得 $\mathbb{R}=A\cup B$ ,并且 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的函数, $f\left(x\right)=1,\mathrm{\forall }x\in A$ ,而 $f\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in B$ ,那么在 $\mathbb{R}$ 上 $f\left(x\right)=1,\lambda$ -a.e. 当且仅当 $\lambda \left(B\right)=0$ .

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①这里以及后面, “a.e.” 是 “almost everywhere” 的缩写.

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