16.2.4 连续分布

16.2.4.1 正态分布

1. 分布函数和密度函数

随机变量 $X$ 称为服从正态分布,如果其分布函数是

$$\begin{array}{}\text{(16.70a)}& P\left(X\le x\right)=F\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\mathrm{e}}^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}t.\end{array}$$

$X$ 也称为正态变量,此分布也称为参数为 $\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的正态分布. 函数

$$\begin{array}{}\text{(16.70b)}& f\left(t\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$

是正态分布的密度函数,它在 $t=\mu$ 处取得最大值,在 $\mu \pm \sigma$ 处有拐点 (参见第 94 页 (2.59) 和图 16.5(a)).

2. 期望和方差

正态分布的期望和方差分别是其参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(16.71a)}& E\left(X\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}x=\mu ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.71b)}& D^2\left(X\right)=E\left[{(X-\mu )}^2\right]=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{(x-\mu )}^2{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}x={\sigma }^2.\end{array}$$

若随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立,且分别服从参数为 ${\mu }_1,{\sigma }_1$ 和 ${\mu }_2,{\sigma }_2$ 的正态分布,则随机变量 $X=k_1{X}_1+k_2{X}_2(k_1,k_2$ 为实常数) 也服从正态分布,其参数为$\mu =k_1{\mu }_1+k_2{\mu }_2,\sigma =\sqrt{k_1{\sigma }_1^2+k_2{\sigma }_2^2}.$

对 (16.70a) 式进行变量代换 $\tau =\frac{t-\mu }{\sigma }$ ,则对一般正态分布函数值的计算可转化为(0,1)正态分布函数值的计算,(0,1)正态分布也称为标准正态分布. 因此,正态变量的概率 $P\left(a\le X\le b\right)$ 可用标准正态分布的分布函数 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ 表示:

$$\begin{array}{}\text{(16.72)}& P\left(a\le X\le b\right)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\mathrm{\Phi }\left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right).\end{array}$$

16.2.4.2 标准正态分布、高斯误差函数

1. 分布函数和密度函数

在 (16.70a) 式中,当 $\mu =0,{\sigma }^2=1$ 时,即得到所谓标准正态分布的分布函数

$$\begin{array}{}\text{(16.73a)}& P\left(X\le x\right)=\mathrm{\Phi }\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\phi \left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}$$

其密度函数是

$$\begin{array}{}\text{(16.73b)}& \phi \left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\end{array}$$

也称为高斯误差曲线(图 16.5(b)).

第 1458 页表 21.17 列出了标准正态分布函数 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ 的值,表中只给出了自变量 $x>0$ 时的函数值,当 $x<0$ 时,函数值可由下式求出:

$$\begin{array}{}\text{(16.74)}& \mathrm{\Phi }\left(-x\right)=1-\mathrm{\Phi }\left(x\right).\end{array}$$

2. 概率积分

积分 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ 也称为概率积分或高斯误差积分. 在文献中,有时也用函数 ${\mathrm{\Phi }}_0\left(x\right)$ 和 $\mathrm{erf}\left(x\right)$ 表示误差积分,定义如下:

$$\begin{array}{}\text{(16.75a)}& {\mathrm{\Phi }}_0\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\mathrm{\Phi }\left(x\right)-\frac{1}{2},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.75b)}& \mathrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=2\cdot {\mathrm{\Phi }}_0\left(\sqrt{2}x\right).\end{array}$$

其中 erf 表示误差函数.

16.2.4.3 对数正态分布

1. 密度函数和分布函数

称连续随机变量 $X$ 服从参数为 ${\mu }_L$ 和 ${\sigma }_L^2$ 的对数正态分布,若 $X$ 全部取正值, 且由

$$\begin{array}{}\text{(16.76)}& Y=\log X\end{array}$$

定义的随机变量 $Y$ 服从期望为 ${\mu }_L$ 和方差为 ${\sigma }_L^2$ 的正态分布 (参见第 1071 页 b)). 因此,随机变量 $X$ 有密度函数

$$\begin{array}{}\text{(16.77a)}& f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t\le 0,\\ \frac{\log \mathrm{e}}{t{\sigma }_L\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{{(\log t-{\mu }_L)}^2}{2{\sigma }_L^2}\right),& t>0.\end{array}\end{array}$$

其分布函数为

$$\begin{array}{}\text{(16.77b)}& F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0,\\ \frac{1}{{\sigma }_L\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\log x}\exp \left(-\frac{{(t-{\mu }_L)}^2}{2{\sigma }_L^2}\right)\mathrm{d}t,& x>0.\end{array}\end{array}$$

实际应用中主要使用自然对数或常用对数.

2. 期望和方差

使用自然对数可得到对数正态分布的期望和方差为

$$\begin{array}{}\text{(16.78)}& \mu =\exp \left({\mu }_L+\frac{{\sigma }_L^2}{2}\right),{\sigma }^2=\left(\exp {\sigma }_L^2-1\right)\exp \left(2{\mu }_L+{\sigma }_L^2\right).\end{array}$$

3. 注

a) 对数正态分布的密度函数处处连续, 且只对正的自变量取正值. 图 16.6 给出了 ${\mu }_L$ 和 ${\sigma }_L$ 取不同值的对数正态分布密度函数图,此处使用了自然对数.

**b) ${\mu \ast \ast }_L$ 和 ${\sigma }_L^2$ 不是对数正态随机变量 $X$ 本身的期望和方差,而是变量 $Y=\log X$ 的期望和方差,但 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 与随机变量 $X$ 的期望和方差 (16.78) 式是一致的.

c) 对数正态分布的分布函数值 $F\left(x\right)$ 可通过标准正态分布的分布函数 $\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ 计算 (参见 (16.73a)), 公式如下:

$$\begin{array}{}\text{(16.79)}& F\left(x\right)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{\log x-{\mu }_L}{{\sigma }_L}\right).\end{array}$$

d) 对数正态分布经常应用于经济学、技术、生物过程中的寿命分析.

e) 正态分布可用于大量独立随机变量的加法叠加, 对数正态分布可用于大量独立随机变量的乘法叠加.

16.2.4.4 指数分布

1. 密度函数和分布函数

称连续随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda \left(\lambda >0\right)$ 的指数分布,如果其密度函数是 (图 16.7)

$$\begin{array}{}\text{(16.80a)}& f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t},& t\ge 0.\end{array}\end{array}$$

因此, 其分布函数为

$$\begin{array}{}\text{(16.80b)}& F\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x\ge 0.\end{array}\end{array}$$

2. 期望和方差

$$\begin{array}{}\text{(16.81)}& \mu =\frac{1}{\lambda },{\sigma }^2=\frac{1}{{\lambda }^2}.\end{array}$$

下述问题常用指数分布描述: 电话的通话时间, 放射性粒子的寿命, 某些过程中机器在两次故障之间的工作时间, 灯泡或某建筑构件的寿命等.

16.2.4.5 韦布尔分布

1. 密度函数和分布函数

称连续随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\beta \left(\alpha >0,\beta >0\right)$ 的韦布尔分布,如果其密度函数是

$$\begin{array}{}\text{(16.82a)}& f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ \frac{\alpha }{\beta }{\left(\frac{t}{\beta }\right)}^{\alpha -1}\exp \left[-{\left(\frac{t}{\beta }\right)}^{\alpha }\right],& t\ge 0.\end{array}\end{array}$$

故其分布函数为

$$\begin{array}{}\text{(16.82b)}& F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1-\exp \left[-{\left(\frac{x}{\beta }\right)}^{\alpha }\right],& x\ge 0.\end{array}\end{array}$$

2. 期望和方差

$$\begin{array}{}\text{(16.83)}& \mu =\beta \mathrm{\Gamma }\left(1+\frac{1}{\alpha }\right),{\sigma }^2={\beta }^2\left[\mathrm{\Gamma }\left(1+\frac{2}{\alpha }\right)-{\mathrm{\Gamma }}^2\left(1+\frac{1}{\alpha }\right)\right].\end{array}$$

此处, $\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ 表示 $\mathrm{\Gamma }$ 函数 (参见第 682 页8.2.5,6.):

$$\begin{array}{}\text{(16.84)}& \mathrm{\Gamma }\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,x>0.\end{array}$$

在 (16.82a) 中, $\alpha$ 是形状参数, $\beta$ 是尺度参数 (图 16.8,图 16.9).

注 a) 当 $\alpha =1,\lambda =\frac{1}{\beta }$ 时,韦布尔分布即为指数分布.

b) 引入位置参数 $\gamma$ ,韦布尔分布也有三参数形式,其分布函数是

$$\begin{array}{}\text{(16.85)}& F\left(x\right)=1-\exp \left[-{\left(\frac{x-\gamma }{\beta }\right)}^{\alpha }\right].\end{array}$$

c) 韦布尔分布在可靠性理论中特别有用, 比如它可以极灵活地描述建筑构件的系统寿命.

16.2.4.6 ${\chi }^2$ 分布

1. 密度函数和分布函数

设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的标准正态随机变量,则随机变量

$$\begin{array}{}\text{(16.86)}& {\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\end{array}$$

的分布称为自由度 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布. 其分布函数用 $F_{{\chi }^2}\left(x\right)$ 表示,对应的密度函数用 $f_{{\chi }^2}\left(t\right)$ 表示.

$$\begin{array}{}\text{(16.87a)}& f_{{\chi }^2}\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{t}^{\frac{n}{2}-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}},& t>0,\\ 0,& t\le 0.\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.87b)}& F_{{\chi }^2}\left(x\right)=P\left({\chi }^2\le x\right)=\frac{1}{2^{n/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^x{t}^{\frac{n}{2}-1}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}}\mathrm{d}t\left(x>0\right).\end{array}$$

2. 期望和方差

$$\begin{array}{}\text{(16.88a)}& E\left({\chi }^2\right)=n,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.88b)}& D^2\left({\chi }^2\right)=2n.\end{array}$$

3. 独立随机变量之和

若随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立,且分别服从自由度为 $n$ 和 $m$ 的 ${\chi }^2$ 分布,则随机变量 $X=X_1+X_2$ 也服从自由度为 $n+m$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

4. 独立正态随机变量之和

如果随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是参数为 $\left(0,\sigma \right)$ 的独立正态随机变量,则

$$\begin{array}{}\text{(16.89)}& X=\sum _{i=1}^n{X}_i^2\text{有密度函数}f\left(t\right)=\frac{1}{{\sigma }^2}{f}_{{\chi }^2}\left(\frac{t}{{\sigma }^2}\right)\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.90)}& X=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\text{有密度函数}f\left(t\right)=\frac{n}{{\sigma }^2}{f}_{{\chi }^2}\left(\frac{nt}{{\sigma }^2}\right)\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.91)}& X=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2}\text{有密度函数}f\left(t\right)=\frac{2t}{{\sigma }^2}{f}_{{\chi }^2}\left(\frac{t^2}{{\sigma }^2}\right)\text{.}\end{array}$$

5. 分位数

对于自由度为 $m$ 的 ${\chi }^2$ 分布 (图 16.10),其分位数 ${\chi }_{\alpha ,m}^2$ (参见第 1062 页 16.2.2.2,3.) 满足

$$\begin{array}{}\text{(16.92)}& P\left(X>{\chi }_{\alpha ,m}^2\right)=\alpha .\end{array}$$

${\chi }^2$ 分布的分位数数值可查阅第 1460 页表 21.18.

16.2.4.7 费希尔 $F$ 分布

1. 密度函数和分布函数

若随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立,且分别服从自由度为 $m_1$ 和 $m_2$ 的 ${\chi }^2$ 分布, 则随机变量

$$\begin{array}{}\text{(16.93)}& F_{m_1,m_2}=\frac{X_1}{m_1}/\frac{X_2}{m_2}\end{array}$$

的分布是自由度为 $m_1,m_2$ 的费希尔分布或 $F$ 分布. 其密度函数为

$$f_F\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{\left(\frac{m_1}{2}\right)}^{m_1/2}{\left(\frac{m_2}{2}\right)}^{m_2/2}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_1}{2}+\frac{m_2}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_2}{2}\right)}\frac{t^{\frac{m_1}{2}-1}}{{(\frac{m_1}{2}t+\frac{m_2}{2})}^{\frac{m_1}{2}+\frac{m_2}{2}}},\\ 0,\end{array}$$

$t>0$

$t\le 0$ .

(16.94a)

当 $x\le 0$ 时,有 $F_F\left(x\right)=P\left(F_{m_1,m_2}\le x\right)=0$ ,当 $x>0$ 时,有

$$F_F\left(x\right)=P\left(F_{m_1,m_2}\le x\right)$$$$={\left(\frac{m_1}{2}\right)}^{m_1/2}{\left(\frac{m_2}{2}\right)}^{m_2/2}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_1}{2}+\frac{m_2}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m_2}{2}\right)}{\int }_0^x\frac{\left(t^{\frac{m_1}{2}-1}-1\right)\mathrm{d}t}{{(\frac{m_1}{2}t+\frac{m_2}{2})}^{\frac{m_1}{2}+\frac{m_2}{2}}}.$$

(16.94b)

2. 期望和方差

$$\begin{array}{}\text{(16.95a)}& E\left(F_{m_1,m_2}\right)=\frac{m_2}{m_2-2},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.95b)}& D^2\left(F_{m_1,m_2}\right)=\frac{2m_2^2\left(m_1+m_2-2\right)}{m_1{(m_2-2)}^2\left(m_2-4\right)}.\end{array}$$

3. 分位数

对于费希尔分布 (图 16.11) 的分位数 $t_{\alpha ,m_1,m_2}$ (参见第 1062 页 16.2.2.2,3.), 其数值可查阅第 1461 页表 21.19.

16.2.4.8 $t$ 分布

1. 密度函数和分布函数

如果随机变量 $X$ 是(0,1)正态随机变量, $Y$ 与 $X$ 相互独立,且服从自由度为 $m=n-1$ 的 ${\chi }^2$ 分布,则随机变量

$$\begin{array}{}\text{(16.96)}& T=\frac{X}{\sqrt{Y/m}}\end{array}$$

的分布称为自由度 $m$ 的学生 $t$ 分布或 $t$ 分布. 其分布函数用 $F_S\left(x\right)$ 表示,对应的密度函数用 $f_S\left(t\right)$ 表示.

$$\begin{array}{}\text{(16.97a)}& f_S\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{m\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}\frac{1}{{(1+\frac{t^2}{m})}^{\frac{m+1}{2}}}.\end{array}$$$$F_S\left(x\right)=P\left(T\le x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_S\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{m\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\frac{\mathrm{d}t}{{(1+\frac{t^2}{m})}^{\frac{m+1}{2}}}.$$

(16.97b)

2. 期望和方差

$$\begin{array}{}\text{(16.98a)}& E\left(T\right)=0\left(m>1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(16.98b)}& D^2\left(T\right)=\frac{m}{m-2}\left(m>2\right).\end{array}$$

3. 分位数

$t$ 分布的分位数 $t_{\alpha ,m}$ 和 $t_{\alpha /2,m}$ (图 16.12(a),(b)) 满足

$$\begin{array}{}\text{(16.99a)}& P\left(T>t_{\alpha ,m}\right)=\alpha \end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(16.99b)}& P\left(\left|T\right|>t_{\alpha /2,m}\right)=\alpha .\end{array}$$

其数值由第 1463 页表 21.20 给出.

由戈赛特 (Gosset) 以笔名 “学生” 发表的 $t$ 分布,适用于当样本容量 $n$ 较小, 且只能给出均值和标准差的估计的情形. 标准差 (16.98b) 不再依赖于从中取出样本的总体标准差.