12.3.4 赋范代数

$\mathbb{F}$ 上的向量空间 $X$ 称作一个代数,是指除了在向量空间中定义的运算满足公理 $\left(\mathrm{V}1\right)\sim \left(\mathrm{V}8\right)$ (参见第 $855\sim 856$ 页 12.1.1) 外,还对任意两个元 $x,y\in X$ ,定义乘积 $x\cdot y$ (或用更简化的记号 $xy$ 表示乘积),使得对于任意 $x,y,z\in X$ 和 $\alpha \in \mathbb{F}$ ,满足如下条件:

(A1) $x\left(yz\right)=\left(xy\right)z$ ,(12.95)

(A2) $x\left(y+z\right)=xy+xz$ ,(12.96)

(A3) $\left(x+y\right)z=xz+yz$ ,(12.97)

(A4) $\alpha \left(xy\right)=\left(\alpha x\right)y=x\left(\alpha y\right)$ .(12.98)

一个代数称作交换的,是指对于任意两个元 $x,y$ 都有 $xy=yx$ . 代数 $X$ 到代数 $Y$ 的线性算子 (参见第 861 页 (12.21)) $T:X\to Y$ 称作代数同构,是指对于任意 $x_1,x_2\in X$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.99)}& T\left(x_1\cdot x_2\right)=T{x}_1\cdot T{x}_2.\end{array}$$

一个代数称作赋范代数或巴拿赫代数, 是指它是一赋范空间或巴拿赫空间, 并且范数还具有如下附加性质:

$$\begin{array}{}\text{(12.100)}& \parallel x\cdot y\parallel \le \parallel x\parallel \cdot \parallel y\parallel .\end{array}$$

在一个赋范代数中,所有运算都是连续的,即除了 (12.85) 外,当 $x_n\to x$ 和 $y_n\to y$ 时,还有 $x_n{y}_n\to xy$ (参见 [12.23]).

每个赋范代数都可以完备化成为巴拿赫代数, 这里根据 (12.100) 可以把乘积延拓至范数完备化空间.

$◼\mathbf{A}$: $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ ,赋以范数 (12.80e),乘积为连续函数通常的 (点点) 相乘.

$◼\mathbf{B}$: $\left[0,2\pi \right]$ 上所有连续并具有绝对收敛傅里叶级数展开的复值函数组成的向量空间 $W\left(\left[0,2\pi \right]\right)$ ,若傅里叶级数展开为

$$\begin{array}{}\text{(12.101)}& x\left(t\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\mathrm{e}}^{int},\end{array}$$

则范数为 $\parallel x\parallel =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|c_n\right|$ ,而乘积为通常的函数相乘.

$◼\mathbf{C}$: 赋范空间 $X$ 上所有有界线性算子空间 $L\left(X\right)$ ,取算子范数和通常的代数运算, 这里两个算子的乘积 $TS$ 定义成 $TS\left(x\right)=T\left(S\left(x\right)\right),x\in X$ .

$◼\mathbf{D}$: 实轴上可测且绝对可积函数的空间 $L^1\left(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$ (参见第 905 页 12.9),赋以

范数

$$\begin{array}{}\text{(12.102)}& \parallel x\parallel ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left|x\left(t\right)\right|\mathrm{d}t,\end{array}$$

并定义乘积为卷积 $\left(x\ast y\right)\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\left(t-s\right)y\left(s\right)\mathrm{d}s$ ,是一巴拿赫代数.