2.1.1 函数的定义

2.1.1.1 函数

设有两个变量 $x,y$ ,若对每个给定的 $x$ ,按照某种对应法则,都有唯一确定的 $y$ 与之对应,则称 $y$ 是 $x$ 的函数,记为

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& y=f\left(x\right).\end{array}$$

变量 $x$ 称为自变量或者函数 $y$ 的参数,对于所有的 $y$ ,相应的 $x$ 值构成函数 $f\left(x\right)$ 的定义域 $D$ ; 变量 $y$ 称为因变量,所有 $y$ 值构成函数 $f\left(x\right)$ 的值域 $W$ . 函数可以通过点(x, y)表示成曲线或函数的图像.

2.1.1.2 实函数

若函数 $y=f\left(x\right)$ 的定义域和值域均仅为实数,则称之为实变量的实函数.

$◼\mathbf{A}$: $y=x^2$ ,其中 $D:-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },W:0\le y<+\mathrm{\infty }$ .

$◼\mathbf{B}$: $y=\sqrt{x}$ ,其中 $D:0\le x<+\mathrm{\infty },W:0\le y<+\mathrm{\infty }$ .

2.1.1.3 多元函数

若变量 $y$ 依赖于多个自变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ,则称之为多元函数(参见第 153 页 2.18), 记为

$$\begin{array}{}\text{(2.2)}& y=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right).\end{array}$$

2.1.1.4 复函数

若因变量和自变量分别为复数 $w,z$ ,则称 $w=f\left(z\right)$ 为复变量的复函数(参见第 953 页 14.1). 即使自变量 $x$ 为实数,复值函数 $w\left(x\right)$ 也称为复函数.

2.1.1.5 其他函数

在向量分析、向量场理论等不同数学领域中 (参见第 914 页 13.1), 还要考虑其他类型的函数, 其定义域及值域如下:

(1)自变量为实数, 函数值为向量.

$◼\mathbf{A}$:向量函数 (参见第 914 页 13.1.1)

$◼\mathbf{B}$:曲线的参数表示 (参见第 343 页 3.6.2)

(2)自变量为向量, 函数值为实数.

$◼$ 标量场 (参见第 916 页 13.1.2)

(3)自变量和函数值均为向量.

$◼\mathbf{A}$:向量场 (参见第 919 页 13.1.3)

$◼\mathbf{B}$:曲面的参数表示或向量形式 (参见第 350 页 3.6.3)

2.1.1.6 泛函

若一函数类中的任一函数 $x=x\left(t\right)$ 的值均为实数,则称之为泛函.

$◼\mathbf{A}$: 若 $x\left(t\right)$ 是 $\left[a,b\right]$ 上的可积函数,则 $f\left(x\right)={\int }_a^{b}x\left(t\right)\mathrm{d}t$ 是定义在由 $\left[a,b\right]$ 上可积的连续函数 $x\left(t\right)$ 构成的集合上的线性泛函 (参见第 884 页 12.5).

$◼\mathbf{B}$: 变分问题中的积分表达式 (参见第 803 页 10.1).

2.1.1.7 函数与映射

设 $X,Y$ 为两非空集合,若按照某种对应法则

$$\begin{array}{}\text{(2.3)}& f:X\to Y\end{array}$$

对 $X$ 中的每个元素 $x$ ,都有 $Y$ 中唯一确定的元素 $y$ 与之对应,则 $y$ 称为 $x$ 的像, 记为 $y=f\left(x\right)$ ,集合 $Y$ 称为 $f$ 的像空间或值域,集合 $X$ 称为 $f$ 的原像空间或定义域.

$◼\mathbf{A}$: 若原像空间和像空间都为实数集的子集,即 $X=D\subset \mathbb{R}$ 且 $Y=W\subset \mathbb{R}$ ,则 (2.3) 定义了一个实变量 $x$ 的实函数 $y=f\left(x\right)$ .

$◼\mathbf{B}$: 若 $f$ 是一个(m, n)型的矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)\left(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)$ ,且 $X={\mathbb{R}}^n,Y={\mathbb{R}}^m$ ,则 (2.3) 定义了一个从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的映射. 对应法则 (2.3) 可以用下面的 $m$ 个线性方程构成的方程组表示:

$$y_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n,$$$$\underset{―}{\mathbf{y}}=\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}\text{ 或 }\begin{array}{c}{y}_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n,\\ \dots \dots \end{array}$$$$y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n,$$

即 $\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}$ 表示矩阵 $\mathbf{A}$ 与向量 $\underset{―}{\mathbf{x}}$ 的乘积.

注 (1) 映射的概念是对函数概念的推广, 因此有些映射有时也称为函数.

(2) 关于映射的重要性质可参见第 447 页 5.2.3,5..

(3) 若抽象空间 $X$ 中的每个元素在另一个抽象空间 $Y$ 中都有唯一确定的元素与之对应, 则称这样的映射为算子. 其中抽象空间通常是指函数空间, 它是实际应用中最重要的一类空间. 此外, 还存在其他的抽象空间, 如线性空间 (参见第 489 页 5.3.8 向量空间)、距离空间 (参见第 865 页 12.2) 和赋范空间 (参见第 874 页 12.3).