3.5.1 向量代数

3.5.1.1 向量的定义

1. 标量和向量

取值为实数的量称为标量. 例如, 质量、温度、能量和功都是标量 (关于标量不变量, 参见第 247 页 3.5.1.5, 3., 第 287 页 3.5.3.4, 3. 和第 385 页 4.3.5.2, (2)).

空间中可以用大小和方向完全描述的量称为向量. 例如, 力、速度、加速度、角速度、角加速度以及电场和磁场强度都是向量. 我们用空间中的有向线段表示向量.

在本书中三维欧几里得空间中的向量记作 $\overrightarrow{a}$ ,在矩阵论中记作 $\underset{―}{\mathbf{a}}$ .

2. 极向量和轴向量

极向量表示具有大小和空间方向的量, 如速度和加速度; 轴向量表示具有大小, 空间方向和旋转方向的量, 如角速度和角加速度. 在图示上它们用极箭头和轴箭头来区别 (图 3.113). 但在数学讨论中对它们并不加以区别.

3. 模和空间中的方向

向量 $\overrightarrow{a}$ 或 $\underset{―}{a}$ 作为起点 $A$ 和终点 $B$ 之间的线段,其量的描述是模 $\left|\overrightarrow{a}\right|$ ,即该线段的长度, 以及空间中的方向, 它由一组角给出.

4. 向量的相等

两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 如果模相等且方向相同,则称它们是相等的.

反向的相等向量具有相同的模, 但方向相反:

$$\begin{array}{}\text{(3.233)}& \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{a}\text{但是}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\text{.}\end{array}$$

在这一情形, 轴向量具有相反和相同的旋转方向.

5. 自由向量、固定向量、滑动向量

自由向量被认为是相同的, 即它在做平行移动时不改变模和方向, 因此它的起点可以是空间中的任意一点. 如果一个向量的性质与一个确定的起点相关联, 则它被称为约束向量或固定向量. 滑动向量只能沿它所在的直线移动.

6. 特殊向量

a)单位向量 ${\overrightarrow{a}}^0=\overrightarrow{e}$ 是长度或模等于 1 的向量. 利用它,向量 $\overrightarrow{a}$ 可以表示为该向量的模与该向量同方向的单位向量之积:

$$\begin{array}{}\text{(3.234)}& \overrightarrow{a}=\overrightarrow{e}\left|\overrightarrow{a}\right|\end{array}$$

单位向量 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ 或 ${\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j,{\overrightarrow{e}}_k$ (图 3.114) 常用来表示三个坐标轴的坐标值增加方向. 在图 3.114 中由三个单位向量所给的方向构成了一个正交三元组. 这些单位向量定义了一个直角坐标系, 因为它们的标量积满足:

$$\begin{array}{}\text{(3.235)}& {\overrightarrow{e}}_i{\overrightarrow{e}}_j={\overrightarrow{e}}_i{\overrightarrow{e}}_k={\overrightarrow{e}}_j{\overrightarrow{e}}_k=0,\end{array}$$

而且还有

$$\begin{array}{}\text{(3.236)}& {\overrightarrow{e}}_i{\overrightarrow{e}}_i={\overrightarrow{e}}_j{\overrightarrow{e}}_j={\overrightarrow{e}}_k{\overrightarrow{e}}_k=1\end{array}$$

成立, 即它是一个规范正交坐标系.

b) 零向量 $\overrightarrow{0}$ 是模等于 0 的向量,即它的起点和终点重合,而其方向是不加定义的.

c) 向径 $\overrightarrow{r}$ 或点 $P$ 的位置向量是起点在原点终点在 $P$ 的向量 $\overrightarrow{OP}$ (图 3.114). 在这一情形,原点也称作极或极点. 点 $P$ 是由向径唯一定义的.

d) 共线向量 是与同一直线平行的向量.

e) 共面向量 是平行于同一平面的向量. 它们满足等式 (3.260).

3.5.1.2 向量的计算法则

1. 向量的和

a) 两个向量 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ 的和也可以表示成平行四边形 $ABCD$ 的对角线,即图 3.115(b) 中的向量 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ . 两个向量之和最重要的性质是交换律和三角不等式:

$$\begin{array}{}\text{(3.237a)}& \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a},\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\le \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|.\end{array}$$

b) 若干个向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\cdots ,\overrightarrow{e}$ 之和是向量 $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{AF}$ ,如图 3.115(a),它将从 $\overrightarrow{a}$ 到 $\overrightarrow{e}$ 的向量形成的折线封闭. 对于 $n$ 个向量 ${\overrightarrow{a}}_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 成立有

$$\begin{array}{}\text{(3.237b)}& \sum _{i=1}^n{\overrightarrow{a}}_i=\overrightarrow{f}\end{array}$$

若干个向量之和的重要性质是加法的交换律和结合律. 对于三个向量成立有

$$\begin{array}{}\text{(3.237c)}& \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a},\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right).\end{array}$$

c) 两个向量的差 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 可以看成是向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $-\overrightarrow{b}$ 的和,即

$$\begin{array}{}\text{(3.237d)}& \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{d}.\end{array}$$

它是平行四边形 (图 3.115(b)) 的另一条对角线. 两个向量之差的最重要性质是

$$\begin{array}{}\text{(3.237e)}& \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\text{ (零向量),}\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\ge \parallel \overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}\parallel \text{. }\end{array}$$

2. 向量与标量的乘法, 线性组合

乘积 $\alpha \overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{a}\alpha$ 彼此相等并且平行 (共线) 于 $\overrightarrow{a}$ . 这个乘积向量的长等于 $\left|\alpha \right|\left|\overrightarrow{a}\right|$ . 对于 $\alpha >0$ ,积向量与 $\overrightarrow{a}$ 具有相同的方向; 对于 $\alpha <0$ ,它具有相反的方向. 向量与标量之积最重要的性质是

$$\alpha \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\alpha ,\alpha \beta \overrightarrow{a}=\beta \alpha \overrightarrow{a},\left(\alpha +\beta \right)\overrightarrow{a}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{a},\alpha \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\alpha \overrightarrow{a}+\alpha \overrightarrow{b}.$$

(3.238a)

向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\cdots ,\overrightarrow{d}$ 与标量 $\alpha ,\beta ,\cdots ,\delta$ 的线性组合是向量

$$\begin{array}{}\text{(3.238b)}& \overrightarrow{k}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\cdots +\delta \overrightarrow{d}.\end{array}$$

3. 向量的分解

在三维空间中每个向量 $\overrightarrow{a}$ 可以唯一地分解为三个向量之和,它们平行于三个给定的非共面向量 $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ (图 3.116(a),(b)):

$$\begin{array}{}\text{(3.239a)}& \overrightarrow{a}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}+\gamma \overrightarrow{w}.\end{array}$$

$\alpha \overrightarrow{u},\beta \overrightarrow{v}$ 和 $\gamma \overrightarrow{w}$ 称为这一分解的分量,标量因子 $\alpha ,\beta$ 和 $\gamma$ 称为系数. 当所有向量都平行于一个平面时, 可以写成

$$\begin{array}{}\text{(3.239b)}& \overrightarrow{a}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}\end{array}$$

这里 $\overrightarrow{u}$ 和 $\overrightarrow{v}$ 是平行于同一平面的两个非共线向量(图 3.116(c),(d)).

3.5.1.3 向量的坐标

1. 笛卡儿坐标

根据 (3.239a),每个向量 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ 可以唯一分解成平行于坐标系的基向量 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ 或 ${\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j,{\overrightarrow{e}}_k$ 的向量之和:

$$\begin{array}{}\text{(3.240a)}& \overrightarrow{a}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}=a_x{\overrightarrow{e}}_i+a_y{\overrightarrow{e}}_j+a_z{\overrightarrow{e}}_k,\end{array}$$

其中标量 $a_x,a_y,a_z$ 是向量 $\overrightarrow{a}$ 在基向量为 ${\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j,{\overrightarrow{e}}_k$ 的坐标系中的笛卡儿坐标. 也写成

$$\begin{array}{}\text{(3.240b)}& \overrightarrow{a}=\left\{a_x,a_y,a_z\right\}\text{ 或 }\overrightarrow{a}\left(a_x,a_y,a_z\right).\end{array}$$

由单位向量定义的三个方向构成一个正交方向三元组. 向量的分量是该向量在坐标轴上的投影 (图 3.117).

若干个向量的线性组合的坐标等同于这些向量的坐标的线性组合, 因此向量方程(3.238b)对应于下面的坐标方程:

$$k_x=\alpha a_x+\beta b_x+\cdots +\delta d_x,$$$$\begin{array}{}\text{(3.241)}& k_y=\alpha a_y+\beta b_y+\cdots +\delta d_y,\end{array}$$$$k_z=\alpha a_z+\beta b_z+\dots +\delta d_z.$$

对于两个向量的和与差

$$\begin{array}{}\text{(3.242a)}& \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}\end{array}$$

的坐标, 有等式

$$\begin{array}{}\text{(3.242b)}& c_x=a_x\pm b_x,c_y=a_y\pm b_y,c_z=a_z\pm a_z\end{array}$$

成立. 点 $P\left(x,y,z\right)$ 的向径 $\overrightarrow{r}$ 具有该点的笛卡儿坐标:

$$\begin{array}{}\text{(3.243)}& r_x=x,r_y=y,r_z=z;\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}.\end{array}$$

2. 仿射坐标

仿射是笛卡儿坐标的一般化, 它基于三个线性无关但不必正交的向量, 即不共面的基向量 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ 组成的坐标系. 系数是 $a^1,a^2,a^3$ ,这里的上标不是指数. 类似于(3.240a, b),对于 $\overrightarrow{a}$ 成立有

$$\begin{array}{}\text{(3.244a)}& \overrightarrow{a}=a^1{\overrightarrow{e}}_1+a^2{\overrightarrow{e}}_2+a^3{\overrightarrow{e}}_3\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(3.244b)}& \overrightarrow{a}=\left\{a^1,a^2,a^3\right\}\text{ 或 }\overrightarrow{a}\left(a^1,a^2,a^3\right).\end{array}$$

当标量 $a^1,a^2,a^3$ 是一个向量的反变坐标 (参见第 253 页 3.5.1.8) 时,这种记法特别适合. 对于 ${\overrightarrow{e}}_1=\overrightarrow{i},{\overrightarrow{e}}_2=\overrightarrow{j},{\overrightarrow{e}}_3=\overrightarrow{k}$ ,公式 (3.244a, b) 变成 (3.240a, b). 对于向量的线性组合 (3.238b) 类似于 (3.241) 的坐标方程成立, 对于两个向量的和与差也一样(3.242a, b):

$$k^1=\alpha a^1+\beta b^1+\cdots +\delta d^1,$$$$\begin{array}{}\text{(3.245)}& k^2=\alpha a^2+\beta b^2+\cdots +\delta d^2,\end{array}$$$$k^3=\alpha a^3+\beta b^3+\cdots +\delta d^3;$$$$\begin{array}{}\text{(3.246)}& c^1=a^1\pm b^1,c^2=a^2\pm b^2,c^3=a^3\pm b^3.\end{array}$$

3.5.1.4 方向系数

向量 $\overrightarrow{a}$ 沿向量 $\overrightarrow{b}$ 的方向系数是标量积:

$$\begin{array}{}\text{(3.247)}& a_b=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{b}}^0=\left|\overrightarrow{a}\right|\cos \phi ,\end{array}$$

其中 ${\overrightarrow{b}}^0=\frac{b}{\left|\overrightarrow{b}\right|}$ 是 $\overrightarrow{b}$ 方向上的单位向量, $\phi$ 是 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 之间的夹角.

方向系数代表 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影.

在笛卡儿坐标系中,向量 $\overrightarrow{a}$ 沿 $x,y,z$ 轴的方向系数是坐标 $a_x,a_y,a_z$ . 这一断言在非正交坐标系中通常不成立.

3.5.1.5 标量积与向量积

1. 标量积

两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的标量积或点积定义为等式

$$\begin{array}{}\text{(3.248)}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \phi ,\end{array}$$

其中 $\phi$ 是考虑 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 具有共同的出发点时它们之间的夹角 (图 3.118). 标量积的值是标量.

2. 向量积

两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的向量积或叉积是一个向量 $\overrightarrow{c}$ 使得它垂直于向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ ,并且向量按照 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 的顺序形成右手系 (图 3.119): 如果向量具有相同的起点,则从 $\overrightarrow{c}$ 的终点看 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的平面, $\overrightarrow{a}$ 最快是以逆时针旋转到 $\overrightarrow{b}$ 的方向. 向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 具有和右手的拇指, 食指和中指同样的布局. 因此这称为右手法则. 向量积 (3.249a) 具有模(3.249b).

$$\begin{array}{}\text{(3.249a)}& \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right|=\overrightarrow{c},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.249b)}& \left|\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\sin \phi ,\end{array}$$

其中 $\phi$ 是 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 之间的夹角. $\overrightarrow{c}$ 的长度在数值上等于由向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 定义的平行四边形的面积.

3. 向量的乘积的性质

a) 标量积是可交换的:

$$\begin{array}{}\text{(3.250)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\end{array}$$

b) 向量积是反交换的 (交换因子后改变符号):

$$\begin{array}{}\text{(3.251)}& \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\right).\end{array}$$

c) 与一个标量相乘满足结合律:

$$\begin{array}{}\text{(3.252a)}& \alpha \left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right)=\left(\alpha \overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{b},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.252b)}& \alpha \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)=\left(\alpha \overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{b}.\end{array}$$

d) 结合律对于二重标量积和二重向量积不成立:

$$\begin{array}{}\text{(3.253a)}& \overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right)\ne \left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.253b)}& \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)\ne \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}.\end{array}$$

e) 分配律成立:

$$\begin{array}{}\text{(3.254a)}& \overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c},\end{array}$$

$\overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$ 和 $\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}.$(3.254b)

f) 两个向量的正交性 如果等式

$$\begin{array}{}\text{(3.255)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0\end{array}$$

成立,并且 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 都不是零向量,则两个向量互相垂直 $\left(\overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}\right)$ .

g) 两个向量的共线性 如果等式

$$\begin{array}{}\text{(3.256)}& \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\end{array}$$

成立,并且 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 都不是零向量,则两个向量是共线的 $\left(\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}\right)$ .

h) 相同向量的乘法

$$\begin{array}{}\text{(3.257)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^2=a^2,\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.\end{array}$$

i)向量的线性组合 可以用和标量多项式相同的方法相乘 (因为分配律成立), 对于向量积来说, 只有一点必须加以注意. 如果交换因子则也要改变符号.

$◼\mathbf{A}$: $\left(3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}\right)=3{\overrightarrow{a}}^2+5\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-10{\overrightarrow{b}}^2+4\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}-12\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-$$20\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+8{\overrightarrow{c}}^2=3{\overrightarrow{a}}^2-10{\overrightarrow{b}}^2+8{\overrightarrow{c}}^2-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-14\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-16\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}.$

$◼\mathbf{B}$: $\left(3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)\times \left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{c}\right)=3\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}-6\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-10\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}-$$12\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}-20\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+8\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{c}=0-5\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}-6\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+0-4\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}-12\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}-20\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+0=$ $-11\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-10\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}-24\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=11\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+10\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}+24\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b}.$

j) 标量不变量是在坐标系的平移和旋转下其值不发生改变的标量. 两个向量的标量积是一个标量不变量.

$◼\mathbf{A}$: 向量 $\overrightarrow{a}=\left\{a_1,a_2,a_3\right\}$ 的坐标不是标量不变量,因为在不同的坐标系下它们具有不同的值.

$◼\mathbf{B}$: 向量 $\overrightarrow{a}$ 的模是一个标量不变量,因为它在不同的坐标系下具有相同的值.

$◼\mathbf{C}$: 因为两个向量的标量积是一个标量不变量, 所以一个向量与其自身的标量积也是一个标量不变量,即 $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2\cos \phi ={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$ ,因为 $\phi =0$ .

3.5.1.6 向量乘积的组合

1. 二重向量积

二重向量积 $\overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)$ 的结果是与 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 共面的一个向量:

$$\begin{array}{}\text{(3.258)}& \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\right)-\overrightarrow{c}\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right).\end{array}$$

2. 混合积

混合积 $\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}$ 也称三重积,其结果是一个标量,它的绝对值在数值上等于由这三个向量定义的平行六面体的体积; 如果 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 构成右手系则结果取正,否则取负. 括号和叉乘号可以省略:

$$\begin{array}{}\text{(3.259)}& \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}.\end{array}$$

交换任何两项的结果将变号; 将全部三项轮换不影响结果.

对于共面向量,即如果 $\overrightarrow{a}$ 平行于由 $\overrightarrow{b}$ 和 $\overrightarrow{c}$ 定义的平面,则有

$$\begin{array}{}\text{(3.260)}& \overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)=0.\end{array}$$

3. 多重乘积的公式

a) 拉格朗日恒等式

$$\begin{array}{}\text{(3.261)}& \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d}\right)=\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}\right)-\left(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3.262)}& \text{b)}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{e}\overrightarrow{f}\overrightarrow{g}=\left|\begin{array}{lll}\overrightarrow{a}\overrightarrow{e}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{f}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{g}\\ \overrightarrow{b}\overrightarrow{e}& \overrightarrow{b}\overrightarrow{f}& \overrightarrow{b}\overrightarrow{g}\\ \overrightarrow{c}\overrightarrow{e}& \overrightarrow{c}\overrightarrow{f}& \overrightarrow{c}\overrightarrow{g}\end{array}\right|\text{.}\end{array}$$

4. 用笛卡儿坐标表示的乘积公式

如果将向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 表示成坐标形式

$$\begin{array}{}\text{(3.263)}& \overrightarrow{a}=\left\{a_x,a_y,a_z\right\},\overrightarrow{b}=\left\{b_x,b_y,b_z\right\},\overrightarrow{c}=\left\{c_x,c_y,c_z\right\},\end{array}$$

则可以用下面的公式计算乘积:

(1) 标量积

$$\begin{array}{}\text{(3.264)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z.\end{array}$$

(2) 向量积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y\right)\overrightarrow{i}+\left(a_z{b}_x-a_x{b}_z\right)\overrightarrow{j}+\left(a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)\overrightarrow{k}$$$$\begin{array}{}\text{(3.265)}& =\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|.\end{array}$$

(3) 混合积

$$\begin{array}{}\text{(3.266)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{lll}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.\end{array}$$

5. 用仿射坐标表示的乘积公式

(1) 度量系数与互反向量组 如果在 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ 系中给定两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的仿射坐标, 即

$$\begin{array}{}\text{(3.267)}& \overrightarrow{a}=a^1{\overrightarrow{e}}_1+a^2{\overrightarrow{e}}_2+a^3{\overrightarrow{e}}_3,\overrightarrow{b}=b^1{\overrightarrow{e}}_1+b^2{\overrightarrow{e}}_2+b^3{\overrightarrow{e}}_3,\end{array}$$

而需要计算标量积

$$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a^1{b}^1{\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_1+a^2{b}^2{\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_2+a^3{b}^3{\overrightarrow{e}}_3{\overrightarrow{e}}_3+\left(a^1{b}^2+a^2{b}^1\right){\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2$$$$\begin{array}{}\text{(3.268)}& +\left(a^2{b}^3+a^3{b}^2\right){\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3+\left(a^3{b}^1+a^1{b}^3\right){\overrightarrow{e}}_3{\overrightarrow{e}}_1\end{array}$$

或向量积

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(a^2{b}^3-a^3{b}^2\right){\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_3+\left(a^3{b}^1-a^1{b}^3\right){\overrightarrow{e}}_3\times {\overrightarrow{e}}_1+\left(a^1{b}^2-a^2{b}^1\right){\overrightarrow{e}}_1\times {\overrightarrow{e}}_2,$$

(3.269a)

后者用到等式

$$\begin{array}{}\text{(3.269b)}& {\overrightarrow{e}}_1\times {\overrightarrow{e}}_1={\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_2={\overrightarrow{e}}_3\times {\overrightarrow{e}}_3=\overrightarrow{0},\end{array}$$

那么就必须要知道坐标向量的两两乘积. 对于标量积而言这些是六个度量系数:

$$g_{11}={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_1,g_{22}={\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_2,g_{33}={\overrightarrow{e}}_3{\overrightarrow{e}}_3,$$$$\begin{array}{}\text{(3.270)}& g_{12}={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2={\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_1,g_{23}={\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3={\overrightarrow{e}}_3{\overrightarrow{e}}_2,g_{31}={\overrightarrow{e}}_3{\overrightarrow{e}}_1={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_3\end{array}$$

而对向量积来说是三个向量

$$\begin{array}{}\text{(3.271a)}& {\overrightarrow{e}}^1=\mathrm{\Omega }\left({\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_3\right),{\overrightarrow{e}}^2=\mathrm{\Omega }\left({\overrightarrow{e}}_3\times {\overrightarrow{e}}_1\right),{\overrightarrow{e}}^3=\mathrm{\Omega }\left({\overrightarrow{e}}_1\times {\overrightarrow{e}}_2\right),\end{array}$$

它们是关于 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ 的三个互反向量,其中系数

$$\begin{array}{}\text{(3.271b)}& \mathrm{\Omega }=\frac{1}{{\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3},\end{array}$$

是坐标向量混合积的倒数. 这个记号在下面的讨论中仅用来作简写. 借助关于基向量的乘法表 3.13 和表 3.14 容易算出这些系数.

	${\overrightarrow{e}}_1$	${\overrightarrow{e}}_2$	${\overrightarrow{e}}_3$
${\overrightarrow{e}}_1$	$g11$	$g_{12}$	$g_{13}$
${\overrightarrow{e}}_2$	$g_{21}$	$g22$	$g23$
${\overrightarrow{e}}_3$	$g31$	$g32$	$g33$

	乘数
		${\overrightarrow{e}}_1$	${\overrightarrow{e}}_2$	${\overrightarrow{e}}_3$
	${\overrightarrow{e}}_1$	0	$\frac{{\overrightarrow{e}}^3}{\mathrm{\Omega }}$	$-\frac{{\overrightarrow{e}}^2}{\mathrm{\Omega }}$
被乘数	${\overrightarrow{e}}_2$	$-\frac{{\overrightarrow{e}}^3}{\mathrm{\Omega }}$	0	$\frac{{\overrightarrow{e}}^1}{\mathrm{\Omega }}$
	${\overrightarrow{e}}_3$	$\frac{{\overrightarrow{e}}^2}{\mathrm{\Omega }}$	$-\frac{{\overrightarrow{e}}^1}{\mathrm{\Omega }}$	0

(2) 对于笛卡儿坐标的应用 笛卡儿坐标是仿射坐标的特殊情形. 由表 3.15 和表 3.16 对于基向量

$$\begin{array}{}\text{(3.272a)}& {\overrightarrow{e}}_1=\overrightarrow{i},{\overrightarrow{e}}_2=\overrightarrow{j},{\overrightarrow{e}}_3=\overrightarrow{k}\end{array}$$

得度量系数

$$\begin{array}{}\text{(3.272b)}& g_{11}=g_{22}=g_{33}=1,g_{12}=g_{23}=g_{31}=0,\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}\overrightarrow{k}}=1\end{array}$$

和互反基向量

$$\begin{array}{}\text{(3.272c)}& {\overrightarrow{e}}^1=\overrightarrow{i},{\overrightarrow{e}}^2=\overrightarrow{j},{\overrightarrow{e}}^3=\overrightarrow{k}.\end{array}$$

因此, 该坐标系的基向量与互反向量一致, 换句话说, 在笛卡儿坐标系中基向量组就是它自己的互反组.

	$\overrightarrow{i}$	$\overrightarrow{j}$	$\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{i}$	1	0	0
$\overrightarrow{j}$	0	1	0
$\overrightarrow{k}$	0	0	1

	$\overrightarrow{i}$	$\overrightarrow{j}$	$\overrightarrow{k}$
$\overrightarrow{i}$	0	$\overrightarrow{k}$	$-\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{j}$	$-\overrightarrow{k}$	0	$\overrightarrow{i}$
$\overrightarrow{k}$	$\overrightarrow{j}$	$-\overrightarrow{i}$	0

(3) 由坐标给出的向量的标量积

$$\begin{array}{}\text{(3.273)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\sum _{m=1}^3\sum _{n=1}^3{g}_{mn}{a}^m{b}^n=g_{\alpha \beta }{a}^{\alpha }{b}^{\beta }.\end{array}$$

对于笛卡儿坐标, (3.273) 与 (3.264) 相符.

在 (3.273) 中的第二个等号后, 用到了一种常在张量计算中表示求和的简记法 (参见第 376 页, 4.3.1, 2.): 只写出通项以取代完整求和, 因此应该对指标重复进行求和计算, 即对每次出现的上下标进行求和计算. 有时用希腊字母表示求和指标; 这里它们的值从 1 取到 3 . 因此有

$$g_{\alpha \beta }{a}^{\alpha }{b}^{\beta }=g_{11}{a}^1{b}^1+g_{12}{a}^1{b}^2+g_{13}{a}^1{b}^3+g_{21}{a}^2{b}^1+g_{22}{a}^2{b}^2+g_{23}{a}^2{b}^3$$$$\begin{array}{}\text{(3.274)}& +g_{31}{a}^3{b}^1+g_{32}{a}^3{b}^2+g_{33}{a}^3{b}^3.\end{array}$$

(4) 由坐标给出的向量的向量积 根据 (3.269a) 有

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3\left|\begin{array}{lll}{\overrightarrow{e}}^1& {\overrightarrow{e}}^2& {\overrightarrow{e}}^3\\ a^1& a^2& a^3\\ b^1& b^2& b^3\end{array}\right|={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3[\left(a^2{b}^3-a^3{b}^2\right){\overrightarrow{e}}^1$$$$\begin{array}{}\text{(3.275)}& +\left(a^3{b}^1-a^1{b}^3\right){\overrightarrow{e}}^2+\left(a^1{b}^2-a^2{b}^1\right){\overrightarrow{e}}^3].\end{array}$$

对于笛卡儿坐标, (3.275) 与 (3.265) 相符.

(5) 由坐标给出的向量的混合积 根据 (3.269a) 有

$$\begin{array}{}\text{(3.276)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}={\overrightarrow{e}}_1{\overrightarrow{e}}_2{\overrightarrow{e}}_3\left|\begin{array}{lll}{a}^1& a^2& a^3\\ b^1& b^2& b^3\\ c^1& c^2& c^3\end{array}\right|.\end{array}$$

对于笛卡儿坐标, (3.276) 与 (3.266) 相符.

3.5.1.7 向量方程

表 3.17 概括了最简单的向量方程. 表中 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 是已知向量, $\overrightarrow{x}$ 是未知向量, $\alpha$ , $\beta ,\gamma$ 是已知标量, $x,y,z$ 则是要计算的未知标量.

方程	解
(1) $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$	$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
(2) $\alpha \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}$	$\overrightarrow{x}=\frac{\overrightarrow{a}}{\alpha }$
(3) $\overrightarrow{x}\overrightarrow{a}=\alpha$	这是一个不定方程; 考虑具有相同起点, 满足这一方程的所 有向量 $\overrightarrow{x}$ ,则它们的终点形成一个垂直于向量 $\overrightarrow{a}$ 的平面. 方程 (3) 称为这个平面的向量方程
(4) $\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\mathrm{\perp }\overrightarrow{a}\right)$	这是一个不定方程; 考虑具有相同起点, 满足这一方程的所 有向量 $\overrightarrow{x}$ ,则它们的终点形成一条平行于向量 $\overrightarrow{a}$ 的直线. 方程 (4) 称为这条直线的向量方程

续表

方程	解
	(5) $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{x}\overrightarrow{a}=\alpha \\ \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\left(\overrightarrow{b}\mathrm{\perp }\overrightarrow{a}\right)\end{array}\overrightarrow{x}=\frac{\alpha \overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{a^2}\left(a=\left|\overrightarrow{a}\right|\right)$
	$\overrightarrow{x}=\frac{\alpha \left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\beta \left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)+\gamma \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}=\alpha \tilde{\overrightarrow{a}}+\beta \tilde{\overrightarrow{b}}+\gamma \tilde{\overrightarrow{c}},$
	其中 $\tilde{\overrightarrow{a}},\tilde{\overrightarrow{b}},\tilde{\overrightarrow{c}}$ 是 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 的互反向量 (参见第 249 页 3.5.1.6,1.)
(7) $\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$	$x=\frac{\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}},y=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{d}\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}},z=\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}$
$+z\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)$	(8) $\overrightarrow{d}=x\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+y\left(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)x=\frac{\overrightarrow{d}\overrightarrow{a}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}},y=\frac{\overrightarrow{d}\overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}},z=\frac{\overrightarrow{d}\overrightarrow{c}}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}}$

注: $\overrightarrow{x}$ 是未知向量; $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ 是已知向量; $x,y,z$ 是未知标量; $\alpha ,\beta ,\gamma$ 是已知标量

3.5.1.8 向量的共变坐标和反变坐标

1. 定义

向量 $\overrightarrow{a}$ 在以 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ 为基向量的坐标系中由公式

$$\begin{array}{}\text{(3.277)}& \overrightarrow{a}=a^1{\overrightarrow{e}}_1+a^2{\overrightarrow{e}}_2+a^3{\overrightarrow{e}}_3=a^{\alpha }{\overrightarrow{e}}_{\alpha }\end{array}$$

定义的仿射坐标 $a^1,a^2,a^3$ 也称为该向量的反变坐标. 共变坐标是关于基向量 ${\overrightarrow{e}}^1$ , ${\overrightarrow{e}}^2,{\overrightarrow{e}}^3$ ,即关于 ${\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3$ 的互反基向量的分解式中的系数. 利用向量 $\overrightarrow{a}$ 的共变坐标 $a_1,a_2,a_3$ 得

$$\begin{array}{}\text{(3.278)}& \overrightarrow{a}=a_1{\overrightarrow{e}}^1+a_2{\overrightarrow{e}}^2+a_3{\overrightarrow{e}}^3=a_{\alpha }{\overrightarrow{e}}^{\alpha }.\end{array}$$

在笛卡儿坐标系中, 向量的共变坐标和反变坐标是一致的.

2. 利用标量积表示坐标

向量 $\overrightarrow{a}$ 的共变坐标等于该向量与坐标系对应基向量的标量积:

$$\begin{array}{}\text{(3.279)}& a_1=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}_1,a_2=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}_2,a_3=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}_3.\end{array}$$

向量 $\overrightarrow{a}$ 的反变坐标等于该向量与对应的互反基向量的标量积:

$$\begin{array}{}\text{(3.280)}& a^1=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}^1,a^2=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}^2,a^3=\overrightarrow{a}{\overrightarrow{e}}^3.\end{array}$$

在笛卡儿坐标系中 (3.279) 与 (3.280) 是一致的:

$$\begin{array}{}\text{(3.281)}& a_x=\overrightarrow{a}\overrightarrow{i},a_y=\overrightarrow{a}\overrightarrow{j},a_z=\overrightarrow{a}\overrightarrow{k}.\end{array}$$

3. 借助坐标表示标量积

用两个向量的反变坐标确定它们的标量积得到公式 (3.273). 对于共变坐标, 相应的公式为

$$\begin{array}{}\text{(3.282)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=g^{\alpha \beta }{a}_{\alpha }{b}_{\beta },\end{array}$$

其中 $g^{mn}={\overrightarrow{e}}^m{\overrightarrow{e}}^n$ 是互反向量系中的度量系数. 它们与系数 $g_{mn}$ 的关系是(3.283)

其中 $A^{mn}$ 是分母的行列式划掉元素 $g_{mn}$ 所在的行和列后得到的子式.

如果向量 $\overrightarrow{a}$ 由共变坐标给定,向量 $\overrightarrow{b}$ 由反变坐标给定,则它们的标量积是

$$\begin{array}{}\text{(3.284)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a^1{b}_1+a^2{b}_2+a^3{b}_3=a^{\alpha }{b}_{\alpha }.\end{array}$$

类似地, 有

$$\begin{array}{}\text{(3.285)}& \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=a_{\alpha }{b}^{\alpha }.\end{array}$$

3.5.1.9 向量代数的几何应用

确定向量公式	用笛卡儿坐标表示的公式
向量 $\overrightarrow{a}$ 的长度$a=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$	$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
由向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 确定的
平行四边形的面积 由向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ 确定的	$S=\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|S=\sqrt{{\left|\begin{array}{ll}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{ll}{a}_z& a_x\\ b_z& b_x\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{ll}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|}^2}$
平行六面体的体积$V=\left|\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right|$	$V=\left|\begin{array}{lll}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$
向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ $\cos \phi =\frac{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2{\overrightarrow{b}}^2}}$ 之间的夹角	$\cos \phi =\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$