8.1.5 三角函数的积分

8.1.5.1 代换

利用代换

$$\begin{array}{}\text{(8.27)}& t=\tan \frac{x}{2}\text{,即 }\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\end{array}$$

形如

$$\begin{array}{}\text{(8.28)}& \int R\left(\sin x,\cos x\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

的积分可转变成有理函数的积分,其中 $R$ 表示关于自变量的有理函数.

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1+\sin x}{\sin x\left(1+\cos x\right)}\mathrm{d}x=\int \frac{\left(1+\frac{2t}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int \left(t+2+\frac{1}{t}\right)\mathrm{d}t=\frac{t^2}{4}+\\ & \end{array}$$$$t+\frac{1}{2}\ln \left|t\right|+C=\frac{{\tan }^2\frac{x}{2}}{4}+\tan \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C.$$

在某些特殊情况下可采用更简单的代换. 例如, 若 (8.28) 中的被积函数仅含有 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的奇次幂,则作变换 $t=\tan x$ ,可以更便捷地得到一个有理函数.

8.1.5.2 简便方法

情形 $1\int R\left(\sin x\right)\cos x\mathrm{d}x$ . 作代换 $t=\sin x$ ,有 $\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ .(8.29)

情形 $2\int R\left(\cos x\right)\sin x\mathrm{d}x$ . 作代换 $t=\cos x$ ,有 $\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t$ .(8.30)

情形 $3\int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x$ .(8.31a)

**a) $n\ast \ast =2m+1$ 为奇数:

$$\begin{array}{}\text{(8.31b)}& \int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\int {(1-{\cos }^{2}x)}^m\sin x\mathrm{d}x=-\int {(1-t^2)}^m\mathrm{d}t\text{,其中 }t=\cos x.\end{array}$$

**b) $n\ast \ast =2m$ 为偶数:

$$\begin{array}{}\text{(8.31c)}& \int {\sin }^{n}x\mathrm{d}x=\int {\left[\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\right]}^m\mathrm{d}x=\frac{1}{2^{m+1}}\int {(1-\cos t)}^m\mathrm{d}t\text{,其中 }t=2x.\end{array}$$

由此被积函数的方幂减半,把 ${(1-\cos t)}^m$ 去括号后,可逐项积分.

情形 $4\int {\cos }^{n}x\mathrm{d}x$ .(8.32a)

**a) $n\ast \ast =2m+1$ 为奇数:

$$\begin{array}{}\text{(8.32b)}& \int {\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\int {(1-{\sin }^{2}x)}^m\cos x\mathrm{d}x=\int {(1-t^2)}^m\mathrm{d}t\text{,其中 }t=\sin x.\end{array}$$

**b) $n\ast \ast =2m$ 为偶数:

$$\begin{array}{}\text{(8.32c)}& \int {\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\int {\left[\frac{1}{2}(1+\cos 2x)\right]}^m\mathrm{d}x=\frac{1}{2^{m+1}}\int {(1+\cos t)}^m\mathrm{d}t\text{,其中}t=2x\end{array}$$

由此被积函数的方幂减半, 去括号后, 可逐项积分.

情形 $5\int {\sin }^{n}x{\cos }^{m}x\mathrm{d}x$ .(8.33a)

a) $m$ 或 $n$ 中有一个数为奇数,则将其化简成情形 1 或情形 2 .

• $\mathbf{A}:\int {\sin }^{2}x{\cos }^{5}x\mathrm{d}x=\int {\sin }^{2}x{(1-{\sin }^{2}x)}^2\cos x\mathrm{d}x=\int t^2{(1-t^2)}^2\mathrm{d}t+C$ ,其中 $t=$

$\sin x$ .

$◼\mathbf{B}$: $\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x=-\int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}+C$ ,其中 $t=\cos x$ .

b) $m$ 和 $n$ 均为偶数,则利用三角公式

$$\begin{array}{}\text{(8.33b)}& \sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\end{array}$$

将其方幂减半, 化简成情形 3 或情形 4 .

$$\text{I}\int {\sin }^{2}x{\cos }^{4}x\mathrm{d}x=\int {(\sin x\cos x)}^2{\cos }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{8}\int {\sin }^{2}2x\left(1+\cos 2x\right)\mathrm{d}x$$$$=\frac{1}{8}\int {\sin }^{2}2x\cos 2x\mathrm{d}x+\frac{1}{16}\int \left(1-\cos 4x\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{48}{\sin }^{3}2x+\frac{1}{16}x-\frac{1}{64}\sin 4x+C.$$

情形 $6\int {\tan }^{n}x\mathrm{d}x=\int {\tan }^{n-2}x\left({\sec }^{2}x-1\right)\mathrm{d}x$

$$=\int {\tan }^{n-2}x{(\tan x)}^{\prime }\mathrm{d}x-\int {\tan }^{n-2}x\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{}\text{(8.34a)}& =\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}-\int {\tan }^{n-2}x\mathrm{d}x.\end{array}$$

不断重复上述过程可降低方幂,并根据 $n$ 的奇偶性可得到积分

$$\begin{array}{}\text{(8.34b)}& \int \mathrm{d}x=x\text{ 或 }\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln \left|\cos x\right|.\end{array}$$

情形 $7\int {\cot }^{n}x\mathrm{d}x$ .(8.35)

解法与情形 6 类似.

注 1382 页的表 21.7 中包含几类三角函数的积分.