15.2.3 使用拉普拉斯变换求解微分方程

已经注意到, 根据拉普拉斯变换的计算法则 (参见第 1007 页 15.2.1.2), 一些复杂运算, 比如在原始空间内的微分或积分, 可借助拉普拉斯变换化为像空间内简单的代数运算. 此时要注意一些附加条件, 例如使用微分法则的初始条件. 这些条件对求解微分方程是必要的.

15.2.3.1 常系数线性常微分方程

1. 原理

形如

$$\begin{array}{}\text{(15.47a)}& y^{\left(n\right)}\left(t\right)+c_{n-1}{y}^{(n-1)}\left(t\right)+\cdots +c_1{y}^{\prime }\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=f\left(t\right)\end{array}$$

的 $n$ 阶微分方程在初始值 $y\left(+0\right)=y_0,y^{\prime }\left(+0\right)=y_0^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)}\left(+0\right)=y_0^{(n-1)}$ 下, 通过拉普拉斯变换, 可转化为方程

$$\begin{array}{}\text{(15.47b)}& \sum _{k=0}^n{c}_k{p}^{k}Y\left(p\right)-\sum _{k=1}^n{c}_k\sum _{v=0}^{k-1}{p}^{k-v-1}{y}_0^{\left(v\right)}=F\left(p\right)\left(c_n=1\right).\end{array}$$

此处, $G\left(p\right)=\sum _{k=0}^n{c}_k{p}^k=0$ 是微分方程的特征方程 (参见第 421 页 4.6.2.1).

2. 一阶微分方程

初始方程和变换方程是

$$\begin{array}{}\text{(15.48a)}& y^{\prime }\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=f\left(t\right),y\left(+0\right)=y_0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.48b)}& \left(p+c_0\right)Y\left(p\right)-y_0=F\left(p\right),\end{array}$$

其中, $c_0=$ 常数. $Y\left(p\right)$ 的解为

$$\begin{array}{}\text{(15.48c)}& Y\left(p\right)=\frac{F\left(p\right)+y_0}{p+c_0}.\end{array}$$

特殊情况 对于 $f\left(t\right)=\lambda {\mathrm{e}}^{\mu t}$ ,且 $F\left(p\right)=\frac{\lambda }{p-\mu }(\lambda ,\mu$ 为常数):(15.49a)

$$\begin{array}{}\text{(15.49b)}& Y\left(p\right)=\frac{\lambda }{\left(p-\mu \right)\left(p+c_0\right)}+\frac{y_0}{p+c_0},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.49c)}& y\left(t\right)=\frac{\lambda }{\mu +c_0}{\mathrm{e}}^{\mu t}+\left(y_0-\frac{\lambda }{\mu +c_0}\right){\mathrm{e}}^{-c_{0}t}.\end{array}$$

3. 二阶微分方程

初始方程和变换方程分别为

$$\begin{array}{}\text{(15.50a)}& y^{\prime \prime }\left(t\right)+2a{y}^{\prime }\left(t\right)+by\left(t\right)=f\left(t\right),y\left(+0\right)=y_0,y^{\prime }\left(+0\right)=y_0^{\prime }.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.50b)}& \left(p^2+2ap+b\right)Y\left(p\right)-2a{y}_0-\left(p{y}_0+y_0^{\prime }\right)=F\left(p\right).\end{array}$$

$Y\left(p\right)$ 的解为

$$\begin{array}{}\text{(15.50c)}& Y\left(p\right)=\frac{F\left(p\right)+\left(2a+p\right)y_0+y_0^{\prime }}{p^2+2ap+b}.\end{array}$$

分情况讨论:

**a) $b\ast \ast <a^2:G\left(p\right)=\left(p-{\alpha }_1\right)\left(p-{\alpha }_2\right)({\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是实数; ${\alpha }_1\ne {\alpha }_2)$ ,(15.51a)

$$\begin{array}{}\text{(15.51b)}& q\left(t\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{G\left(p\right)}\right\}=\frac{1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}\left({\mathrm{e}}^{{\alpha }_{1}t}-{\mathrm{e}}^{{\alpha }_{2}t}\right).\end{array}$$

**b) $b\ast \ast =a^2:G\left(p\right)={(p-\alpha )}^2$ ,(15.52a)

$$\begin{array}{}\text{(15.52b)}& q\left(t\right)=t{\mathrm{e}}^{\alpha t}.\end{array}$$

**c) $b\ast \ast >a^2:G\left(p\right)$ 有复根,(15.53a)

$$\begin{array}{}\text{(15.53b)}& q\left(t\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{G\left(p\right)}\right\}=\frac{1}{\sqrt{b-a^2}}{\mathrm{e}}^{-at}\sin \sqrt{b-a^2}t.\end{array}$$

分子 $Y\left(p\right)$ 的原函数和 $q\left(t\right)$ 卷积,能够得到解 $y\left(t\right)$ . 如果能够找到右边的直接变换, 则可避免使用卷积.

• 微分方程 $y^{\prime \prime }\left(t\right)+2y^{\prime }\left(t\right)+10y\left(t\right)=37\cos 3t+9{\mathrm{e}}^{-t}$ ,且 $y_0=1$ 和 $y_0^{\prime }=0$ ,其变换方程是

$$Y\left(p\right)=\frac{p+2}{p^2+2p+10}+\frac{37p}{\left(p^2+9\right)\left(p^2+2p+10\right)}+\frac{9}{\left(p+1\right)\left(p^2+2p+10\right)}.$$

对右边的第二项和第三项进行部分分式分解, 但并不把二次项分成一次项, 可得表达式

$$Y\left(p\right)=\frac{-p}{p^2+2p+10}-\frac{19}{p^2+2p+10}+\frac{p}{p^2+9}+\frac{18}{p^2+9}+\frac{1}{p+1}.$$

逐项变换后 (参见第 1431 页表 21.13), 可得解

$$y\left(t\right)=\left(-\cos 3t-6\sin 3t\right){\mathrm{e}}^{-t}+\cos 3t+6\sin 3t+{\mathrm{e}}^{-t}.$$

4. $n$ 阶微分方程

设微分方程 (见 (15.47a)) 的特征方程 $G\left(p\right)=0$ 只有单根 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ,且每个根都不等于 0 . 对于扰动函数 $f\left(t\right)$ ,需区分两种情况.

(1) 若扰动函数 $f\left(t\right)$ 是实际问题中经常出现的跳跃函数 $u\left(t\right)$ ,则其解是

$$\begin{array}{}\text{(15.54a)}& u\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1,& t>0\\ 0,& t<0\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.54b)}& y\left(t\right)=\frac{1}{G\left(0\right)}+\sum _{v=1}^n\frac{1}{{\alpha }_v{G}^{\prime }\left({\alpha }_v\right)}{\mathrm{e}}^{{\alpha }_{v}t}.\end{array}$$

(2) 对于一般的扰动函数 $f\left(t\right)$ ,由 (15.54b) 式,根据使用卷积的达朗贝尔公式 (参见第 1010 页 15.2.1.2,11.),可得到解 $\tilde{y}\left(t\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(15.55)}& \tilde{y}\left(t\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_0^{t}y\left(t-\tau \right)f\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[y\ast f\right].\end{array}$$

15.2.3.2 变系数线性常微分方程

对于系数是关于 $t$ 的多项式的微分方程,也可以通过拉普拉斯变换求解. 运用 (15.16), 在像空间内可得到一个比在原始空间内阶数低的微分方程.

如果微分方程的系数是一次多项式, 则像空间内的微分方程是一阶微分方程, 可能更易求解.

$◼$ 0 阶贝塞尔微分方程: $t\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}+tf=0$ (参见第 743 页 (9.52a) 当 $n=0$ 时). 变换到像空间, 可得到

$$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\left[p^{2}F\left(p\right)-pf\left(0\right)-f^{\prime }\left(0\right)\right]+pF\left(p\right)-f\left(0\right)-\frac{\mathrm{d}F\left(p\right)}{\mathrm{d}p}=0\text{ 或 }\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}p}=-\frac{p}{p^2+1}F\left(p\right).$$

变量分离、积分, 可得

$\log F\left(p\right)=-\int \frac{p\mathrm{d}p}{p^2+1}=-\log \sqrt{p^2+1}+\log C,F\left(p\right)=\frac{C}{\sqrt{p^2+1}}$ ( $C$ 是积分常数),

$f\left(t\right)=C{\mathrm{J}}_0\left(t\right)$ (参见第 1019 页 15.2.2.3,1.中的 0 阶贝塞尔函数).

15.2.3.3 偏微分方程

1. 一般性介绍

偏微分方程的解至少是两个变量的函数: $u=u\left(x,t\right)$ . 由于拉普拉斯变换只对于一个变量进行积分, 另一个变量在变换中应视为常数:

$$\begin{array}{}\text{(15.56)}& \mathcal{L}\{u\left(x,t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}u\left(x,t\right)\mathrm{d}t=U\left(x,p\right).\end{array}$$

在对导数的变换中, $x$ 也保持不变:

$$\begin{array}{}\text{(15.57)}& \mathcal{L}\left\{\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial t}\right\}=p\mathcal{L}\{u\left(x,t\right)\}-u\left(x,+0\right),\end{array}$$$$\mathcal{L}\left\{\frac{{\partial }^{2}u\left(x,t\right)}{\partial t^2}\right\}=p^2\mathcal{L}\{u\left(x,t\right)\}-u\left(x,+0\right)p-u_t\left(x,+0\right).$$

假设对于 $x$ 的微分和拉普拉斯积分是可交换的:

$$\begin{array}{}\text{(15.58)}& \mathcal{L}\left\{\frac{\partial u\left(x,t\right)}{\partial x}\right\}=\frac{\partial }{\partial x}\mathcal{L}\{u\left(x,t\right)\}=\frac{\partial }{\partial x}U\left(x,p\right).\end{array}$$

通过这种方式, 可得到像空间内的常微分方程. 而且, 边界条件和初始条件也可以转化到像空间内.

2. 均匀介质内一维热传导方程的解

(1)问题表述 设均匀介质内零扰动的一维热传导方程形如

$$\begin{array}{}\text{(15.59a)}& u_{xx}-a^{-2}{u}_t=u_{xx}-u_y=0\end{array}$$

在原始空间内, $0<t<\mathrm{\infty },0<x<t$ ,且初始条件和边界条件为

$$\begin{array}{}\text{(15.59b)}& u\left(x,+0\right)=u_0\left(x\right),u\left(+0,t\right)=a_0\left(t\right),u\left(l-0,t\right)=a_1\left(t\right).\end{array}$$

时间坐标用 $y=at$ 代替. (15.59a) 也是一个抛物型方程,如同三维热传导方程一样 (参见第 763 页 9.2.2.3).

(2) 拉普拉斯变换

变换方程是

$$\begin{array}{}\text{(15.60a)}& \frac{{\mathrm{d}}^{2}U}{\mathrm{d}{x}^2}=pU-u_0\left(x\right),\end{array}$$

且边界条件是

$$\begin{array}{}\text{(15.60b)}& U\left(+0,p\right)=A_0\left(p\right),U\left(l-0,p\right)=A_1\left(p\right).\end{array}$$

对于零初始温度 $u_0\left(x\right)=0$ ,变换方程的解是

$$\begin{array}{}\text{(15.60c)}& U\left(x,p\right)=c_1{\mathrm{e}}^{x\sqrt{p}}+c_2{\mathrm{e}}^{-x\sqrt{p}}.\end{array}$$

一个较好的思路是,利用性质得到两个特解 $U_1$ 和 $U_2$

$$\begin{array}{}\text{(15.61a)}& U_1\left(0,p\right)=1,U_1\left(l,p\right)=0,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.61b)}& U_2\left(0,p\right)=0,U_2\left(l,p\right)=1,\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(15.61c)}& U_1\left(x,p\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\left(l-x\right)\sqrt{p}}-{\mathrm{e}}^{-\left(l-x\right)\sqrt{p}}}{{\mathrm{e}}^{l\sqrt{p}}-{\mathrm{e}}^{-l\sqrt{p}}},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.61d)}& U_2\left(x,p\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{x\sqrt{p}}-{\mathrm{e}}^{-x\sqrt{p}}}{{\mathrm{e}}^{l\sqrt{p}}-{\mathrm{e}}^{-l\sqrt{p}}}.\end{array}$$

所求变换方程的解, 具有如下形式

$$\begin{array}{}\text{(15.62)}& U\left(x,p\right)=A_0\left(p\right)U_1\left(x,p\right)+A_1\left(p\right)U_2\left(x,p\right).\end{array}$$

(3) 逆变换

在 $l\to \mathrm{\infty }$ 的情况下,很容易进行逆变换:

$$\begin{array}{}\text{(15.63a)}& U\left(x,p\right)=a_0\left(p\right){\mathrm{e}}^{-x\sqrt{p}},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.63b)}& u\left(x,t\right)=\frac{x}{2\sqrt{\pi }}{\int }_0^t\frac{a_0\left(t-\tau \right)}{{\tau }^{3/2}}\exp \left(-\frac{x^2}{4\tau }\right)\mathrm{d}\tau .\end{array}$$