15.2.2 到原始空间的逆变换

为进行逆变换, 有下述可能方法:

(1) 使用对应表, 即原函数和积分相对应的表格 (参见第 1431 页表 21.13).

(2) 利用变换的一些性质, 约化为已知的对应 (参见第 1018 页 15.2.2.2 和 1019 页 15.2.2.3).

(3) 借助反演公式 (参见第 1020 页 15.2.2.4).

15.2.2.1 借助表格求逆变换

通过第 1431 页表 21.13 的例子说明对表格的使用.

更多表格可见 [15.3].

$$◼F\left(p\right)=\frac{1}{\left(p^2+{\omega }^2\right)\left(p+c\right)}=F_1\left(p\right)\cdot F_2\left(p\right),$$$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{F_1\left(p\right)\right\}={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{p^2+{\omega }^2}\right\}=\frac{1}{\omega }\sin \omega t=f_1\left(t\right),$$$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{F_2\left(p\right)\right\}={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{p+c}\right\}={\mathrm{e}}^{-ct}=f_2\left(t\right).$$

运用卷积定理 (15.23) 得到

$$f\left(t\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{F_1\left(p\right)\cdot F_2\left(p\right)\right\}$$$$={\int }_0^t{f}_1\left(\tau \right)\cdot f_2\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau ={\int }_0^t{\mathrm{e}}^{-c\left(t-\tau \right)}\frac{\sin \omega \tau }{\omega }\mathrm{d}\tau$$$$=\frac{1}{c^2+{\omega }^2}\left(\frac{c\sin \omega t-\omega \cos \omega t}{\omega }+{\mathrm{e}}^{-ct}\right).$$

15.2.2.2 部分分式分解

1. 原则

在很多应用中,有形如 $F\left(p\right)=H\left(p\right)/G\left(p\right)$ 的变换,其中 $G\left(p\right)$ 是关于 $p$ 的多项式. 若 $H\left(p\right)$ 和 $1/G\left(p\right)$ 的原函数已知,则所求 $F\left(p\right)$ 的原函数可运用卷积定理得到.

2. $G\left(p\right)$ 只有单实根

若变换 $1/G\left(p\right)$ 只有一阶极点 $p_v\left(v=1,2,\cdots ,n\right)$ ,则它有下述最简分解分式:

$$\begin{array}{}\text{(15.39)}& \frac{1}{G\left(p\right)}=\sum _{v=1}^n\frac{1}{G^{\prime }\left(p_v\right)\left(p-p_v\right)}.\end{array}$$

对应的原函数是

$$\begin{array}{}\text{(15.40)}& q\left(t\right)={\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{G\left(p\right)}\right\}=\sum _{v=1}^n\frac{1}{G^{\prime }\left(p_v\right)}{\mathrm{e}}^{p_{v}t}.\end{array}$$

3. 赫维赛德展开定理

若分子 $H\left(p\right)$ 也是关于 $p$ 的多项式,且次数比 $G\left(p\right)$ 的次数低,则可借助赫维赛德公式得到 $F\left(p\right)$ 的原函数

$$\begin{array}{}\text{(15.41)}& f\left(t\right)=\sum _{v=1}^n\frac{H\left(p_v\right)}{G^{\prime }\left(p_v\right)}{\mathrm{e}}^{p_{v}t}.\end{array}$$

4. 复根

即使在分母有复根的情况, 也同样可以使用赫维赛德展开定理. 对应共轭复根的项可以合并为一个二次表达式, 其逆变换也可在关于高阶重根的表格中找到.

$◼F\left(p\right)=\frac{1}{\left(p+c\right)\left(p^2+{\omega }^2\right)}$ ,即

$$H\left(p\right)=1,G\left(p\right)=\left(p+c\right)\left(p^2+{\omega }^2\right),G^{\prime }\left(p\right)=3p^2+2pc+{\omega }^2.$$

$G\left(p\right)$ 的零点 $p_1=-c,p_2=\mathrm{i}\omega ,p_3=-\mathrm{i}\omega$ 都是单根. 根据赫维赛德定理,可得到

$$f\left(t\right)=\frac{1}{{\omega }^2+c^2}{\mathrm{e}}^{-ct}-\frac{1}{2\omega \left(\omega -\mathrm{i}c\right)}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}-\frac{1}{2\omega \left(\omega +\mathrm{i}c\right)}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega t}.$$

或通过使用部分分式分解和表格, 可得到

$$F\left(p\right)=\frac{1}{{\omega }^2+c^2}\left[\frac{1}{p+c}+\frac{c-p}{p^2+{\omega }^2}\right],f\left(t\right)=\frac{1}{{\omega }^2+c^2}\left[{\mathrm{e}}^{-ct}+\frac{c}{\omega }\sin \omega t-\cos \omega t\right].$$

$f\left(t\right)$ 的上述表达式是恒等的.

15.2.2.3 级数展开

为了根据 $F\left(p\right)$ 得到 $f\left(t\right)$ ,我们可试着把 $F\left(p\right)$ 展开成级数 $F\left(p\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n\left(p\right)$ , 而项 $F_n\left(p\right)$ 是已知函数的变换,即 $F_n\left(p\right)=\mathcal{L}\left\{f_n\left(t\right)\right\}$ .

1. $F\left(p\right)$ 是绝对收敛级数

当 $\left|p\right|>R$ 时,若 $F\left(p\right)$ 有绝对收敛级数

$$\begin{array}{}\text{(15.42)}& F\left(p\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{p^{{\lambda }_n}},\end{array}$$

其中值 ${\lambda }_n$ 形成任意递增序列 $0<{\lambda }_0<{\lambda }_1<\cdots <{\lambda }_n<\cdots \to \mathrm{\infty }$ ,则逐项逆变换是可能的:

$$\begin{array}{}\text{(15.43)}& f\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{t^{{\lambda }_n-1}}{\mathrm{\Gamma }\left({\lambda }_n\right)}.\end{array}$$

$\mathrm{\Gamma }$ 表示 $\mathrm{\Gamma }$ 函数 (参见第 682 页8.2.5,6.). 特别地,对于 ${\lambda }_n=n+1$ ,即对于 $F\left(p\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}$ ,可得到级数 $f\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n+1}}{n!}{t}^n$ ,该级数对任意实数和复数 $t$ 收敛. 而且可以得到 $\left|f\left(t\right)\right|<C{\mathrm{e}}^{c\left|t\right|}$ ( $C,c$ 是实常数) 形式的估计.

$◼F\left(p\right)=\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{1}{p}{(1+\frac{1}{p^2})}^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ n\end{array}\right)\frac{1}{p^{2n+1}}$ . 逐项变换到原始空间后,结果是 $f\left(t\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ n\end{array}\right)\frac{t^{2n}}{\left(2n\right)!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{{(n!)}^2}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2n}=J_0\left(t\right)(0$ 阶贝塞尔函数).

2. $F\left(p\right)$ 是亚纯函数

若 $F\left(p\right)$ 是亚纯函数,可表示为两个没有共同根的整函数 (处处有收敛幂级数展开的函数) 之商,则 $F\left(p\right)$ 可被重新写为整函数和无穷部分分式之和,从而可得等式

$$\begin{array}{}\text{(15.44)}& \frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{c-\mathrm{i}{y}_n}^{c+\mathrm{i}{y}_n}{\mathrm{e}}^{tp}F\left(p\right)\mathrm{d}p=\sum _{v=1}^n{b}_v{\mathrm{e}}^{p_{v}t}-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\left(K_n\right)}{\mathrm{e}}^{tp}F\left(p\right)\mathrm{d}p,\end{array}$$

此处, $p_v\left(v=1,2,\cdots ,n\right)$ 是函数 $F\left(p\right)$ 的一阶极点, $b_v$ 是相应处的留数 (参见第 983 页 14.3.5.4), $y_v$ 是特定值, $K_v$ 是特定曲线,例如,图 15.19 给出了该意义下的半圆. 解 $f\left(t\right)$ 具有形式

$$\begin{array}{}\text{(15.45)}& f\left(t\right)=\sum _{v=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_v{\mathrm{e}}^{p_{v}t},\text{ 若 }\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\left(K_n\right)}{\mathrm{e}}^{tp}F\left(p\right)\mathrm{d}p\to 0,\end{array}$$

当 $y\to \mathrm{\infty }$ 时,这一点通常不容易证明.

在某些情况下,比如,当亚纯函数 $F\left(p\right)$ 的有理部分一致为 0 时,上述结果是赫维赛德展开定理对亚纯函数的正式应用.

15.2.2.4 逆积分

反演公式

$$\begin{array}{}\text{(15.46)}& f\left(t\right)=\underset{y_n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{c-\mathrm{i}{y}_n}^{c+\mathrm{i}{y}_n}{\mathrm{e}}^{tp}F\left(p\right)\mathrm{d}p\end{array}$$

表示特定区域内解析函数的复积分. 复函数积分理论可使用的积分方法此时都可以应用, 比如, 留数计算或根据柯西积分定理对积分路径进行变化.

• 由于 $\sqrt{p},F\left(p\right)=\frac{p}{p^2+{\omega }^2}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{p}\alpha }$ 是双值函数. 因此,我们选择下述积分路径 (图 15.20):

$$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\left(K\right)}{\mathrm{e}}^{tp}\frac{p}{p^2+{\omega }^2}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{p}\alpha }\mathrm{d}p={\int }_{\stackrel{⏜}{AB}}\cdots +{\int }_{\stackrel{⏜}{CD}}\cdots +{\int }_{\stackrel{⏜}{CF}}\cdots +{\int }_{\stackrel{⏜}{DA}}\cdots +{\int }_{\stackrel{⏜}{BE}}\cdots +{\int }_{\stackrel{⏜}{FC}}\cdots$$$$=\sum \mathrm{Res}{\mathrm{e}}^{tp}F\left(p\right)={\mathrm{e}}^{-\alpha \sqrt{\omega /2}}\cos \left(\omega t-\alpha \sqrt{\omega /2}\right).$$

根据若尔当引理 (参见第 986 页 14.4.3),当 $y_n\to \mathrm{\infty }$ 时, $\stackrel{⏜}{AB}$ 和 $\stackrel{⏜}{CD}$ 上的积分消失. 圆周 $\stackrel{⏜}{EF}$ 上的积分保持有界 (留数为 $\epsilon$ ),且当 $\epsilon \to 0$ 时,积分路径的长度趋向于 0,故这一项的积分也消失了. 只需研究两个水平线段 $\overline{BE}$ 和 $\overline{FC}$ 上的积分,分别需要考虑实轴负半轴的上边 $\left(p=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }\right)$ 和下边 $\left(p=r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }\right)$ :

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}F\left(p\right){\mathrm{e}}^{tp}\mathrm{d}p=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-tr}\frac{r}{r^2+{\omega }^2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha \sqrt{r}}\mathrm{d}r,$$$${\int }_0^{-\mathrm{\infty }}F\left(p\right){\mathrm{e}}^{tp}\mathrm{d}p={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-tr}\frac{r}{r^2+{\omega }^2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha \sqrt{r}}\mathrm{d}r.$$

最终可得

$$f\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-\alpha \sqrt{\omega /2}}\cos \left(\omega t-\alpha \sqrt{\frac{\omega }{2}}\right)-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-tr}\frac{r\sin \alpha \sqrt{r}}{r^2+{\omega }^2}\mathrm{d}r.$$