7.4.5 关于表中某些傅里叶级数的注

1378 页的表 21.6 给出了某些简单函数在某一区间上的傅里叶展开式, 并对其进行了周期延拓, 描述了延拓函数曲线的形状.

1. 坐标变换的应用

通过改变坐标轴的标度 (度量单位) 或平移原点, 可将许多非常简单的周期函数化简成表 21.6 中所示的函数.

$◼$ 设函数 $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$ ,且满足关系

$$\begin{array}{}\text{(7.116a)}& y=\{\begin{array}{ll}2,& 0<x<\frac{T}{4},\\ 0,& \frac{T}{4}<x<\frac{T}{2}\end{array}\end{array}$$

(图 7.9),则利用代换 $a=1$ ,并引入新的变量 $Y=y-1,X=\frac{2\pi x}{T}+\frac{\pi }{2}$ ,可化为表 21.6 中的第 5 种形式. 在级数 5 中作变量代换,因为 $\sin \left(2n+1\right)\left(\frac{2\pi x}{T}+\frac{\pi }{2}\right)=$ ${(-1)}^n\cos \left(2n+1\right)\frac{2\pi x}{T}$ ,对函数 (7.116a),有表达式

$$\begin{array}{}\text{(7.116b)}& y=1+\frac{4}{\pi }\left(\cos \frac{2\pi x}{T}-\frac{1}{3}\cos 3\frac{2\pi x}{T}+\frac{1}{5}\cos 5\frac{2\pi x}{T}-\cdots \right).\end{array}$$

2. 复函数级数展开式的应用

$◼$由函数展开式

$$\begin{array}{}\text{(7.117)}& \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots \left(\left|z\right|<1\right)\end{array}$$

当

$$\begin{array}{}\text{(7.118)}& z=a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\end{array}$$

时, 分离实部和虚部, 有

$$1+a\cos \phi +a^2\cos 2\phi +\cdots +a^n\cos n\phi +\cdots =\frac{1-a\cos \phi }{1-2a\cos \phi +a^2},$$$$\begin{array}{}\text{(7.119)}& a\sin \phi +a^2\sin 2\phi +\cdots +a^n\sin n\phi +\cdots =\frac{a\sin \phi }{1-2a\cos \phi +a^2},\left|a\right|<1\end{array}$$