7.1.2 数列的极限

1. 数列的极限

若对无限增加的指标 $n$ ,恒有 $a_n-A$ 任意小,则称无穷数列 (7.1) 有极限 $A$ . 其精确定义为: 若对于任意小的 $\epsilon >0$ ,总存在指标 $n_0\left(\epsilon \right)$ ,使得对于 $n>n_0$ 时的一切 $a_n$ ,恒有

$$\begin{array}{}\text{(7.5a)}& \left|a_n-A\right|<\epsilon \end{array}$$

若对于任意 $K>0$ ,总存在指标 $n_0\left(K\right)$ ,使得对于 $n>n_0$ 时的一切 $a_n$ ,恒有

$$\begin{array}{}\text{(7.5b)}& a_n>K\left(a_n<-K\right),\end{array}$$

则称数列 (7.1) 的极限为 $+\mathrm{\infty }\left(-\mathrm{\infty }\right)$ .

2. 收敛数列

若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足(7.5a),则称该数列收敛于 $A$ ,记为

$$\begin{array}{}\text{(7.6)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A\text{ 或 }{a}_n\to A.\end{array}$$

在 7.1.1.1 的数列 $\mathrm{A}$ 到 $\mathrm{J}$ 中,数列 $\mathrm{C}$ 收敛于 $A=0$ ,数列 $E$ 收敛于 $A=3$ ,数列 $\mathrm{F}$ 收敛于 $A=3\frac{1}{3}$ ,数列 $\mathrm{G}$ 收敛于 $A=0$ .

3. 发散数列

不收敛的数列称为发散数列. (7.5b) 的情况称为真发散,即随着 $n$ 的无限增加, $a_n$ 超过任意大的正数 $K\left(K>0\right)$ ,且一直不会变小; 或者若随着 $n$ 的无限增加, $a_n$ 小于任意小的负数 $-K\left(K>0\right)$ ,且一直不会变大. 若数列有极限 $\pm \mathrm{\infty }$ ,记为

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\left(a_n>K,\mathrm{\forall }n>n_0\right)\text{ 或 }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }\left(a_n<-K,\mathrm{\forall }n>n_0\right);$$

(7.7)否则数列称为假发散.

发散数列举例

$◼$ 在 7.1.1.1 的数列 A 到 J 中, 数列 A, B 趋于 $+\mathrm{\infty }$ , 为真发散数列.

$◼$ 数列 $\mathrm{D}$ 是假发散数列.

4. 数列极限的定理

a) 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 均收敛,则

$$\begin{array}{}\text{(7.8)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(a_n+b_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.9)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(a_n{b}_n\right)=\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\right)\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\right).\end{array}$$

若对每个 $n,b_n\ne 0$ ,且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\ne 0$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(7.10)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}.\end{array}$$

注 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0,\left\{a_n\right\}$ 有界,即使 $\left\{a_n\right\}$ 没有有限极限,仍有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(a_n{b}_n\right)=0$ .

b) 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$ ,且至少从一个指标 $n_1$ 之后,恒有不等式 $a_n\le$ $c_n\le b_n$ ,则有

$$\begin{array}{}\text{(7.11)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A\end{array}$$

c) 单调有界数列有有限极限. 若单调递增数列 $a_1\le a_2\le a_3\le \cdots$ 有上界,即对所有 $n,a_n\le K_1$ ,则该数列收敛,且极限等于最小上界,即所有可能的 $K_1$ 的最小值. 若单调递减数列 $a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots$ 有下界,即对所有 $n,a_n\ge K_2$ ,则该数列收敛,且极限等于最大下界,即所有可能的 $K_2$ 的最大值.