2.13.1 常见 (标准) 摆线

摆线是当圆沿一直线做无滑动滚动时,圆周上的一个固定点所经过的轨迹 (图 2.67). 通常摆线的参数方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.242a)}& x=a\left(t-\sin t\right),y=a\left(1-\cos t\right)\left(a>0,-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }\right),\end{array}$$

其中 $a$ 为圆的半径, $t$ 为角 $\ll P{C}_{1}B$ 的弧度. 在笛卡儿坐标系下,有

$$\begin{array}{}\text{(2.242b)}& x+\sqrt{y\left(2a-y\right)}=a{\mathrm{arc}}_k\cos \frac{a-y}{a}\left(a>0,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right).\end{array}$$

曲线是以 $\overline{O_0{O}_1}=2\pi a$ 为周期的周期曲线,点 $O_0,O_1,O_2,\cdots ,O_k=\left(2k\pi a,0\right)$ 为尖点,最高点为 $A_{k+1}=\left(\left(2k+1\right)\pi a,2a\right)\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right).O_{0}P$ 的弧长 $L=8a{\sin }^2\left(\frac{t}{4}\right)$ ,单拱形的长度 $L_{O_0{A}_1{O}_1}=8a$ ,单拱形围成的面积 $S=3\pi a^2$ ,曲率半径 $r=4a\sin \frac{t}{2}$ ,在最高点处曲率 $r_A=4a$ . 摆线的渐屈线 (参见第 340 页 3.6.1.6) 为全等的摆线, 如图 2.67 中虚线所示.