19.5.1 差分法

通过选取点 $\left(x_{\mu },y_v\right)$ ,考虑在积分区域内的正规网格. 通常选等距的矩形网格:

$$\begin{array}{}\text{(19.136)}& x_{\mu }=x_0+\mu h,y_{\nu }=y_0+\nu l\left(\mu ,\nu =1,2,\cdots \right).\end{array}$$

当 $l=h$ 时,得到正方形网格. 若所求的解记为 $u\left(x,y\right)$ ,则按如下方式以有限差分代替出现在微分方程及边值或初值中的偏导数,其中 $u_{\mu \nu }$ 表示函数 $u\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$ 的近似值: 在 (19.137) 中由朗道符号 $O$ 给出误差阶. 在某些情况下,应用带固定参数 $\sigma \left(0\le \sigma \le 1\right)$ 的近似

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)\approx \sigma \frac{u_{\mu +1,\nu +1}-2u_{\mu ,\nu +1}+u_{\mu -1,\nu +1}}{h^2}+\left(1-\sigma \right)\frac{u_{\mu +1,\nu }-2u_{\mu ,\nu }+u_{\mu -1,\nu }}{h^2}$$

(19.138)

偏导数	有限差分	误差阶
$\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$	$\frac{1}{h}\left(u_{\mu +1,\nu }-u_{\mu ,\nu }\right)$ 或 $\frac{1}{2h}\left(u_{\mu +1,\nu }-u_{\mu -1,\nu }\right)$	$O\left(h\right)$ 或 $O\left(h^2\right)$
$\frac{\partial u}{\partial y}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$	$\frac{1}{l}\left(u_{\mu ,\nu +1}-u_{\mu ,\nu }\right)$ 或 $\frac{1}{2l}\left(u_{\mu ,\nu +1}-u_{\mu ,\nu -1}\right)$	$O\left(l\right)$ 或 $O\left(l^2\right)$
$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$	$\frac{1}{4hl}(u_{\mu +1,\nu +1}-u_{\mu +1,\nu -1}$ $-u_{\mu -1,\nu +1}+u_{\mu -1,\nu -1})$	$O\left(hl\right)$
$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$	$\frac{1}{h^2}\left(u_{\mu +1,\nu }-2u_{\mu ,\nu }+u_{\mu -1,\nu }\right)$	$O\left(h^2\right)$
$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)$	$\frac{1}{l^2}\left(u_{\mu ,\nu +1}-2u_{\mu ,\nu }+u_{\mu ,\nu -1}\right)$

(19.137)

更实用. 公式 (19.138) 表示由相应于 $y=y_{\nu },y=y_{v+1}$ 的公式 (19.137) 得到的两个表达式的凸线性组合.

由公式 (19.137) 偏微分方程可以在网格的每个内点写成差分方程, 这里同样考虑其边值条件与初值条件. 对于小的步长 $h$ 和 $l$ ,关于近似值 $u_{\mu \nu }$ 的线性方程组有高的维数, 通常用迭代法 (参见第 1248 页 19.2.1.4) 来求解.

$◼\mathbf{A}$: 设函数 $u\left(x,y\right)$ 为定义在矩形 $\left|x\right|<1,\left|y\right|<2$ 内部,并在边界 $\left|x\right|=1,\left|y\right|=2$ 上满足 $u=0$ 的微分方程 $\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=-1$ 的解. 对步长为 $h$ 的正方形网格, 相应于微分方程的差分方程为: $4u_{\mu ,\nu }=u_{\mu +1,\nu }+u_{\mu ,\nu +1}+u_{\mu -1,\nu }+u_{\mu ,\nu -1}+h^2$ . 步长 $h=1$ (图 19.6) 导致三内点的粗网格近似: $4u_{0,1}=0+0+0+u_{0,0}+1$ ,$4u_{0,0}=0+u_{0,1}+0+u_{0,-1}+1,4u_{0,-1}=0+u_{0,0}+0+0+1.$

其解为 $u_{0,0}=\frac{3}{7}\approx 0.429,u_{0,1}=u_{0,-1}=\frac{5}{14}\approx 0.357$ .

$◼\mathbf{B}$: 应用差分法求解偏微分方程得到的线性方程组具有非常特殊的结构. 以下面更一般的边值问题为例说明之. 积分区域为正方形 $G:0\le x\le 1,0\le y\le 1$ . 函数 $u\left(x,y\right)$ 在区域 $G$ 内满足微分方程 $\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=f\left(x,y\right)$ ,在 $G$ 的边界上满足 $u\left(x,y\right)=g\left(x,y\right)$ . 函数 $f$ 和 $g$ 已知. 对步长 $h=l=1/n$ ,关联于微分方程的差分方程为

$u_{\mu +1,\nu }+u_{\mu ,\nu +1}+u_{\mu -1,\nu }+u_{\mu ,\nu -1}-4u_{\mu ,\nu }=\frac{1}{n^2}f\left(x_{\mu },y_{\nu }\right)\left(\mu ,\nu =1,2,\cdots ,n-1\right).$当 $n=5$ 时,按 $4\times 4$ 个内点从左到右逐行排列,考虑到边界上的函数值已知,则近似值 $u_{\mu \nu }$ 的差分方程组的左边为节点的选取. 对于诸如椭圆、抛物、双曲等不同类型的二阶偏微分方程, 发展了更有效的方法, 并研究了收敛性与稳定性条件. 关于这一课题有大量的著述 (例如见 [19.28], [19.31], [19.20]).

(19.139)

系数矩阵是对称稀疏的. 这个形式称为块三对角矩阵. 显然矩阵的形式依赖于网格