12.8.7 巴拿赫空间中的单调算子

1. 特殊性质

设 $X,Y$ 为赋范空间, $T:D\subset X\to Y$ 称作在点 $x_0\in D$ 半连续,是指对于每个 (按 $X$ 的范数) 收敛于 $x_0$ 的序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset D$ ,序列 ${\left\{T{x}_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 在 $Y$ 中弱收敛于 $x_0.T$ 称作在 $D$ 上半连续,是指 $T$ 在 $D$ 的每一点半连续. 本节中介绍实分析中熟知的单调性概念的另一种推广. 设 $X$ 是一实巴拿赫空间, $X^{\ast }$ 是其对偶, $D\subset X,T:D\to X^{\ast }$ 是一非线性算子. $T$ 称作单调的,是指 $\mathrm{\forall }x,y\in D$ ,成立不等式 $\left(T\left(x\right)-T\left(y\right),x-y\right)\ge 0$ . 如果 $X=H$ 是希尔伯特空间,那么 $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 意指标量积, 而在任意巴拿赫空间情形,则可参阅第 890 页 12.5.4.1 中介绍的记号. 算子 $T$ 称作强单调的,是指存在常数 $c>0$ ,使得 $\left(T\left(x\right)-T\left(y\right),x-y\right)\ge c\parallel x-y{\parallel }^2,\mathrm{\forall }x,y\in D$ . 算子 $T:X\to X^{\ast }$ 称作强制的,是指它满足 $\underset{\parallel x\parallel \to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(T\left(x\right),x)}{\parallel x\parallel }=\mathrm{\infty }$ .

2. 存在性定理

这里仅通过举例说明含单调算子的算子方程解的存在性: 设 $X$ 是实可分巴拿赫空间,如果算子 $T:X\to X^{\ast }$ 是单调半连续且强制的 $\left(D_T=X\right)$ ,那么方程 $T\left(x\right)=f$ 对于任意 $f\in X^{\ast }$ 有解. 此外,如果算子 $T$ 还是强单调的,那么其解是唯一的. 在这种情形下,逆算子 $T^{-1}$ 也存在.

对于希尔伯特空间 $H$ 中单调半连续算子 $T:H\to H,D_T=H$ ,有 $\mathrm{Im}(I+$ $T)=H$ ,这里 ${(I+T)}^{-1}$ 连续. 如果假定 $T$ 是强单调的,那么 $T^{-1}$ 是双射,并且 $T^{-1}$ 是连续的. 求解与希尔伯特空间中单调算子 $T$ 有关的方程 $T\left(x\right)=0$ 的构造性近似方法则是基于伽辽金方法的思想 (参见第 1266 页 19.4.2.2 或 [12.11], [12.21]). 据此理论也可处理集值算子 $T:X\to 2^{X^{\ast }}$ : 通过 $\left(f-g,x-y\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x,y\in$ $D_T,f\in T\left(x\right),g\in T\left(y\right)$ ,把单调性概念推广到集值算子.