1.3.2 复利的计算

1.3.2.1 利息

利息是使用贷款的应付款项或应收账款的收益. 把本金 $K$ 置于整个利息周期(通常是一年), 则在利息周期末, 应支付利息

\begin{matrix} (1.75) & K \frac{p}{100} \end{matrix}

其中, $p$ 是利息周期的利率,通常说对本金 $K$ 支付 $p %$ 的利息.

复利指对本金以及尚未支付或收回的任何利息都要计算利息. 它是两个或更多个周期的本金利润. 通过利息增加的本金利息, 称为复利.

下面讨论依赖于本金变化的各种投资情况.

本金 $K$ 以年复利计息, $n$ 年后终值为 $K_{n}$ ,则第 $n$ 年年末 $K_{n}$ 为

\begin{matrix} (1.76) & K_{n} = K {(1 + \frac{p}{100})}^{n} . \end{matrix}

作为基本记法,替换 $1 + \frac{p}{100} = q, q$ 称为累积因子或增长因子.

可依照任何时间周期计算复利: 年度、半年、月、日等. 把年分成 $m$ 个等利息周期,利息在每一周期末增加到本金 $K$ ,则一个利息周期的利息是 $K \frac{p}{100 m}, n$ 年后,经过 $m$ 个利息周期,本金增至

\begin{matrix} (1.77) & K_{m \cdot n} = K {(1 + \frac{p}{100 m})}^{m \cdot n} . \end{matrix}

数值 $1 + \frac{p}{100}$ 称为名义利率, ${(1 + \frac{p}{100 m})}^{m}$ 称为实利率.

$◼$ 本金€5000,年名义利率是 $7.2 %, 6$ 年内将增至

a) 按年度复利: $K_{6} = 5000 {(1 + 0.072)}^{6} = € 7588.20$ ;

b) 按月度复利: $K_{72} = 5000 {(1 + 0.072 / 12)}^{72} = € 7691.54$ .

相等的时间间隔内存入相同数量资金 $E$ . 相等时间间隔的投资周期必须等于利息支付周期. 可在间隔周期开始或结尾进行储蓄,则在第 $n$ 个利息周期末,余额 $K_{n}$ 是

a) 在开始储蓄

\begin{matrix} (1.78a) & K_{n} = E q \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

b) 在期末储蓄

\begin{matrix} (1.78b) & K_{n} = E \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

把一年或一个利息周期分成 $m$ 个等周期,在每个周期的开始或期末,储蓄相同数量 $E$ ,直至年末计算利息,按照这种形式,一年后,余额 $K_{1}$ 是

a) 在开始储蓄

\begin{matrix} (1.79a) & K_{1} = E [m + \frac{(m + 1) p}{200}] . \end{matrix}

b) 在期末储蓄

\begin{matrix} (1.79b) & K_{1} = E [m + \frac{(m - 1) p}{200}] . \end{matrix}

第 2 年,整个 $K_{1}$ 值产生利息,进一步储蓄,且类似于第一年的方式增加利息, $n$ 年后,对中期存款和年利息支付方式的存款余额 $K_{n}$ 为

a) 在开始储蓄

\begin{matrix} (1.80a) & K_{n} = E [m + \frac{(m + 1) p}{200}] \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

b) 在期末储蓄

\begin{matrix} (1.80b) & K_{n} = E [m + \frac{(m - 1) p}{200}] \frac{q^{n} - 1}{q - 1} . \end{matrix}

$◼$ 储户以 $p = 5.2 %$ 的年利率每月末储蓄€1000,问多少年后,可增至€500000？

比如,根据 (1.80b) 式,由 $500000 = 1000 (12 + \frac{11 \cdot 5.2}{200}) \cdot \frac{{1.052}^{n} - 1}{0.052}$ ,可得答案, $n = 22.42$ 年.