10.3.6 利用参数表达式的变分问题

对于某些变分问题,不以显式 $y=y\left(x\right)$ ,而以参数形式

$$\begin{array}{}\text{(10.38)}& x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)\left(t_1\le t\le t_2\right)\end{array}$$

来确定极值是有帮助的,其中 $t_1$ 和 $t_2$ 是相应于点(a, A)和(b, B)的参数值. 则简单变分问题 (参见第 805 页 10.3.1) 为

$$\begin{array}{}\text{(10.39a)}& I\left[x,y\right]={\int }_{t_1}^{t_2}F\left(x\left(t\right),y\left(t\right),\dot{x}\left(t\right),\dot{y}\left(t\right)\right)\mathrm{d}t=\text{ 极值! }\end{array}$$

其边界条件为

$$\begin{array}{}\text{(10.39b)}& x\left(t_1\right)=a,x\left(t_2\right)=b,y\left(t_1\right)=A,y\left(t_2\right)=B,\end{array}$$

像在参数表达式中通常用的那样,这里 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 表示 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 的导数.

变分问题 (10.39a) 仅在其中积分的值与极值曲线的参数表示无关时才有意义. 为了保证(10.39a)中积分与连接点(a, A)和(b, B)的曲线的参数表示无关, $F$ 必须是一个一次正齐次函数 (positive homogeneous function), 即必须成立

$$\begin{array}{}\text{(10.40)}& F\left(x,y,\mu \dot{x},\mu \dot{y}\right)=\mu F\left(x,y,\dot{x},\dot{y}\right)\left(\mu >0\right).\end{array}$$

因为变分问题 (10.39a) 可以视为 (10.34) 的一个特殊情形, 所以其相应的欧拉

微分方程为

$$\begin{array}{}\text{(10.41)}& \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\right)=0,\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{y}}\right)=0.\end{array}$$

这两个方程并非相互独立, 它们等价于欧拉微分方程所谓的魏尔斯特拉斯形式 (Weierstrass form):

$$\begin{array}{}\text{(10.42a)}& \frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial \dot{y}}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial \dot{x}\partial y}+M\left(\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}\right)=0,\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(10.42b)}& M=\frac{1}{{\dot{y}}^2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\dot{x}}^2}=-\frac{1}{\dot{x}\dot{y}}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial \dot{x}\partial \dot{y}}=\frac{1}{{\dot{x}}^2}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\dot{y}}^2}.\end{array}$$

类似于用参数表达式给出的一条曲线 (参见第 326 页 3.6.1.1,1.) 曲率半径 $R$ 的计算, 考虑到 (10.42a), 下式给出了极值曲线曲率半径(radius of curvature of the extremal curve) 的计算:

$$\begin{array}{}\text{(10.42c)}& R=\left|\frac{{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)}^{3/2}}{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}\right|=\left|\frac{M{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)}^{3/2}}{F_{\dot{x}y}-F_{x\dot{y}}}\right|.\end{array}$$

$◼$ 等周问题 ((10.8a)～(10.8c))(参见第 804 页 10.2.1) 用参数表达有形式

$$\begin{array}{}\text{(10.43a)}& I\left[x,y\right]={\int }_{t_1}^{t_2}y\left(t\right)\dot{x}\left(t\right)\mathrm{d}t=max!\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(10.43b)}& {\int }_{t_1}^{t_2}\sqrt{{\dot{x}}^2\left(t\right)+{\dot{y}}^2\left(t\right)}\mathrm{d}t=l.\end{array}$$

根据

$$\begin{array}{}\text{(10.43c)}& H=H\left(x,y,\dot{x},\dot{y}\right)=y\dot{x}+\lambda \sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}\end{array}$$

时的 (10.26),该具有辅助条件的变分问题即变为一个无约束的变分问题. $H$ 满足 (10.40), 因而它是一个一次正齐次函数. 而且成立

$$\begin{array}{}\text{(10.43d)}& M=\frac{1}{{\dot{y}}^2}{H}_{\dot{x}\dot{x}}=\frac{\lambda }{{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)}^{3/2}},H_{\dot{x}y}=1,H_{x\dot{y}}=0,\end{array}$$

因而(10.42c)提供了曲率半径 $R=\left|\lambda \right|$ . 因为 $\lambda$ 是常数,所以极值曲线是圆周