2.6.6 幂函数与指数函数的乘积

此处仅在 $a>0$ 时,对函数

$$\begin{array}{}\text{(2.62)}& y=a{x}^b{\mathrm{e}}^{cx}\left(c\ne 0\right)\end{array}$$

进行讨论,因为 $a<0$ 时,只需将前一图形沿 $x$ 轴反射. 若 $b$ 不是整数,仅在 $x>0$ 时给出定义; 若 $b$ 是整数,当 $x<0$ 时,曲线的形状可归为如下情况 (图 2.31).

图 2.31 给出了任意参数下曲线的性状.

若 $b>0$ ,曲线过原点,且当 $b>1$ 时,原点处的切线为 $x$ 轴; 当 $b=1$ 时,原点处的切线为 $y=x$ ;

当 $0<b<1$ 时,原点处的切线为 $y$ 轴. 若 $b<0,y$ 轴为曲线的一条渐近线. 若 $c>0$ ,函数不断增加且超过任何给定的值; 若 $c<0$ ,函数渐近趋近于 0 . 若 $b,c$ 异号,函数在 $x=-\frac{b}{c}$ 处 (曲线上点 $A$ ) 有极值. 曲线在 $x=-\frac{b\pm \sqrt{b}}{c}$ 有 0 个、 1 个或 2 个拐点 (参见图 2.31(c),(e),(f),(g) 中的点 $C,D$ ).