5.2.1 集合的概念、特殊集

集论的创始人是 G. 康托尔 (1845-1918). 他引进的这个概念的重要性后来才为人所知. 集论在数学所有分支中都有决定性的作用, 并且它是当今数学及其应用中的本质性工具.

1. 从属关系

(1) 集合和它的元素 集论的基本概念是从属关系. 一个集合 $A$ 是由于某些原因而归在一起的某些不同的事物 (个体、观念等) $a$ 的总体. 这些个体称作集合的元素. 我们分别用记号 “ $a\in A$ ” 或 “ $a\notin A$ ” 表示 “ $a$ 是 $A$ 的一个元素” 或 “ $a$ 不是 $A$ 的一个元素”. 集合可以通过在花括号中列出其元素,比如 $M=\{a,b,c\}$ 或 $U=\{1,2,3,\cdots \}$ ,或者借助恰由这个集合的元素所满足的规定的性质来给出. 例如, 奇自然数的集合 $U$ 用 $U=\{x\mid x$ 是奇自然数 $\}$ 定义和表示. 对于数集,下列记号是通用的:

$$\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots \}$$

自然数集,

$$\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,\cdots \}$$

整数集,

$$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}|p,q\in \mathbb{Z}\wedge q\ne 0\right\}$$

有理数集,

实数集,

复数集.

(2) 集合的外延性原则 两个集合 $A$ 和 $B$ 恒等,当且仅当它们恰有相同的元素, 即

$$\begin{array}{}\text{(5.36)}& A=B\iff \mathrm{\forall }x\left(x\in A\iff x\in B\right).\end{array}$$

$◼$ 集合 $\{3,1,3,7,2\}$ 和 $\{1,2,3,7\}$ 相同.

一个集合每个元素仅含有 “一次”, 即使它被多次列举.

2. 子集

(1)子集 如果 $A$ 和 $B$ 是集合,并且

$$\begin{array}{}\text{(5.37)}& \mathrm{\forall }x\left(x\in A\Rightarrow x\in B\right)\end{array}$$

成立,那么 $A$ 称为 $B$ 的子集,并且记作 $A\subseteq B$ . 换言之: 若 $A$ 的所有元素也属于 $B$ ,则 $A$ 是 $B$ 的子集. 如果当 $A\subseteq B$ 时还存在 $B$ 的某些元素不在 $A$ 中,那么称 $A$ 是 $B$ 的真子集,并且将此记作 $A\subset B$ (图 5.1). 显然,每个集合是它自身的子集 $A\subseteq A$ .

设 $A=\{2,4,6,8,10\}$ 是偶数的集合,而 $B=\{1,2,3,\cdots ,10\}$ 是自然数的集合. 因为集合 $A$ 不含奇数,所以 $A$ 是 $B$ 的真子集.

(2) 空集 空集 $\varnothing$ 没有元素,引进这个概念是重要并且有用的. 由外延性原则, 仅有一个空集.

$◼\mathbf{A}$: 集合 $\left\{x\mid x\in \mathbb{R}\wedge x^2+2x+2=0\right\}$ 是空集.

$◼\mathbf{B}$: 对于每个集合 $M$ ,有 $\varnothing \subseteq M$ ,即空集是每个集合 $M$ 的子集.

对于集合 $A$ ,空集和 $A$ 自身称为 $A$ 的平凡子集.

(3) 集合的相等 两个集合相等, 当且仅当两者互为对方的子集:

$$\begin{array}{}\text{(5.38)}& A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A.\end{array}$$

这个事实经常用来证明两个集合恒等.

(4) 幂集 集合 $M$ 的所有子集的集合称为 $M$ 的幂集,并且记作 $\mathbb{P}\left(M\right)$ ,即$\mathbb{P}\left(M\right)=\{A\mid A\subseteq M\}.$

$◼$ 对于集合 $M=\{a,b,c\}$ ,幂集是

$$\mathbb{P}\left(M\right)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}.$$

下列性质成立:

a) 如果集合 $M$ 有 $m$ 个元素,那么幂集 $\mathbb{P}\left(M\right)$ 有 $2^m$ 个元素.

b) 对于每个集合 $M$ ,有 $M,\varnothing \in \mathbb{P}\left(M\right)$ ,即 $M$ 自身及空集是 $M$ 的幂集的元素.

(5) 基数 有限集合 $M$ 的元素个数称为 $M$ 的基数,并记作 $\mathrm{card}M$ ,有时也记作 $\left|M\right|$ .

关于有无穷多元素的集合的基数, 参见第 449 页 5.2.5.