4.4.2 $R^{3}$ 中旋转的表示

空间旋转是绕着一个轴 (所谓旋转轴) 实现的. 旋转轴通过原点, 由 (在轴上的) 方向向量 $\vec{a} \neq \vec{0}$ 定向. 轴上的正向由 $\vec{a}$ 选取. 正旋转 (旋转角 $φ \geq 0$ ) 相对于正向逆时针旋转. 方向向量通常是标准化的,即 $| \vec{a} | = 1$ .

等式

\begin{matrix} (4.130a) & \vec{w} = R \vec{v} \end{matrix}

意味着向量 $\vec{w}$ 由向量 $\vec{v}$ 通过旋转矩阵 $R$ 产生,即旋转矩阵 $R$ 将向量 $\vec{v}$ 变换为 $\vec{w}$ . 因为旋转矩阵是正交矩阵,所以

\begin{matrix} (4.130b) & R^{- 1} = R^{T}, \end{matrix}

并且 (4.130a) 等价于

\begin{matrix} (4.130c) & \vec{w} = R^{- 1} \vec{w} = R^{T} \vec{w} . \end{matrix}

注有必要将空间变换与下列变换加以区分:

a) 几何变换, 即当几何对象相对于一个固定的坐标系被变换;

b) 坐标变换, 即对象固定, 同时坐标系相对于对象被变换 (参见第 307 页3.5.4).

现在几何变换是用四元数处理的.

4.4.2.1 物体绕坐标轴的旋转

在笛卡儿坐标系中轴是由基向量定向的. 绕 $x$ 轴的旋转由矩阵 $R_{x}$ 给出,绕 $y$ 轴的旋转由矩阵 $R_{y}$ 给出,绕 $z$ 轴的旋转由矩阵 $R_{z}$ 给出,其中

R_{x} (α) := (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{matrix}), R_{y} (β) := (\begin{matrix} \cos β & 0 & \sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin β & 0 & \cos β \end{matrix}),

\begin{matrix} (4.131) & R_{z} (γ) := (\begin{matrix} \cos γ & - \sin γ & 0 \\ \sin γ & \cos γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

物体的旋转与坐标系的旋转 (参见第 285 页 3.5.3.3, 3.) 间的关系是

\begin{matrix} (4.132) & R_{x} (α) = D_{x}^{T} (α), R_{y} (β) = D_{y}^{T} (β), R_{z} (γ) = D_{z}^{T} (γ) . \end{matrix}

注齐次坐标中旋转矩阵的表示在第 314 页 3.5.4.5 中给出.

4.4.2.2 卡丹角

每个绕通过原点的轴的旋转 $R$ 可以作为在一个给定坐标系中一系列绕坐标轴的旋转给出 (参见第 287 页 3.5.3.5), 这里

第一次旋转是绕 $x$ 轴,旋转角为 $α_{C}$ ,
第二次旋转是绕 $y$ 轴,旋转角为 $β_{C}$ ,
第三次旋转是绕 $z$ 轴,旋转角为 $γ_{C}$ .

角 $α_{C}, β_{C}, γ_{C}$ 称作卡丹角. 于是旋转矩阵是

\begin{matrix} (4.133a) & R = R_{C} := R_{z} (γ_{C}) R_{y} (β_{C}) R_{x} (α_{C}) \end{matrix}

$= (\begin{matrix} \cos β_{C} \cos γ_{C} & \sin α_{C} \sin β_{C} \cos γ_{C} - \cos α_{C} \sin γ_{C} & \cos α_{C} \sin β_{C} \cos γ_{C} + \sin α_{C} \sin γ_{C} \\ \cos β_{C} \sin γ_{C} & \sin α_{C} \sin β_{C} \sin γ_{C} + \cos α_{C} \cos γ_{C} & \cos α_{C} \sin β_{C} \sin γ_{C} - \sin α_{C} \cos γ_{C} \\ - \sin β_{C} & \sin α_{C} \cos β_{C} & \cos α_{C} \cos β_{C} \end{matrix}) .$ (4.133b)

优点

非常通用的旋转表示,
清晰的结构. 缺点
旋转的顺序是重要的, 即一般地,

\begin{matrix} (4.133c) & R_{x} (α_{C}) R_{y} (β_{C}) R_{z} (γ_{C}) \neq R_{z} (γ_{C}) R_{y} (β_{C}) R_{x} (α_{C}) . \end{matrix}

表示不唯一,因为 $R (α_{C}, β_{C}, γ_{C}) = R (- α_{C} \pm 180^{\circ}, β_{C} \pm 180^{\circ}, γ_{C} \pm 180^{\circ})$ .
对连续实施的旋转不适用 (如动画).
可能发生常平架锁定 (一个轴旋转 $90^{\circ}$ 成为另一个轴).
常平架锁定情形:绕 $y$ 轴旋转 $90^{\circ}$ ,

\begin{matrix} (4.133d) & R (α_{C}, 90^{\circ}, γ_{C}) = (\begin{matrix} 0 & \sin (α_{C} - γ_{C}) & \cos (α_{C} - γ_{C}) \\ 0 & \cos (α_{C} - γ_{C}) & - \sin (α_{C} - γ_{C}) \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

可见失去了一个自由度. 在实际应用中, 这可能引起难以预料的运动.

注应该了解的是: 卡丹角有时被称为欧拉角, 但在文献中它们的定义可能是不同的 (参见第 289 页 3.5.3.6).

4.4.2.3 欧拉角

欧拉角 $ψ, ϑ, φ$ 通常引进如下 (参见第 289 页 3.5.3.6):

第一次旋转是绕 $z$ 轴,旋转角为 $ψ$ ,
第二次旋转是绕 $x$ 轴的象,旋转角为 $ϑ$ ,
第三次旋转是绕 $z$ 轴的象,旋转角为 $φ$ .

旋转矩阵是

\begin{matrix} (4.134a) & R = R_{E} = R_{z} (φ) R_{x} (ϑ) R_{z} (ψ) \end{matrix}

= (\begin{matrix} \cos ψ \cos φ - \sin ψ \cos ϑ \sin φ & - \cos ψ \sin φ - \sin ψ \cos ϑ \cos φ & \sin ψ \sin ϑ \\ \sin ψ \cos φ + \cos ψ \cos ϑ \sin φ & - \sin ψ \sin φ + \cos ψ \cos ϑ \cos φ & - \cos ψ \sin ϑ \\ \sin ϑ \sin φ & \sin ϑ \cos φ & \cos ϑ \end{matrix}) .

(4.134b)

4.4.2.4 绕任意零点轴的旋转

绕标准化向量 $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z}), | \vec{a} | = 1$ 旋转角为 $φ$ 的反时针方向旋转分 5 步完成:

(1) 按照 (4.135a) 应用 $R_{1}, \vec{a}$ 绕 $y$ 轴旋转到 $x, y$ 平面: ${\vec{a}}^{'} = R_{1} \vec{a}$ . 结果是: 向量 ${\vec{a}}^{'}$ 位于 $x, y$ 平面上.

(2) 按照 (4.135b) 应用 $R_{2}, {\vec{a}}^{'}$ 绕 $z$ 轴旋转直到平行于 $x$ 轴的位置: ${\vec{a}}^{''} = R_{2} {\vec{a}}^{'}$ . 结果是: 向量 ${\vec{a}}^{''}$ 平行于 $x$ 轴.

\begin{matrix} (4.135a) & R_{1} = (\begin{matrix} \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} & 0 & \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{- a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} & 0 & \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} \end{matrix}), \end{matrix}

\begin{matrix} (4.135b) & R_{2} = (\begin{matrix} \sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}} & a_{y} & 0 \\ - a_{y} & \sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) . \end{matrix}

(3) 应用 $R_{3}$ ,绕 $x$ 轴旋转角度 $φ$ :

\begin{matrix} (4.135c) & R_{3} = R_{x} (φ) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos φ & - \sin φ \\ 0 & \sin φ & \cos φ \end{matrix}) . \end{matrix}

旋转 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 在下列两步中是反方向进行的.

(4) $R_{2}$ 的逆向旋转,即按照 (4.135d),绕 $z$ 轴旋转角度 $β$ ,这里 $\sin β =$ $a_{y}, \cos β = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}} .$

(5) $R_{1}$ 的逆向旋转,即按照 (4.135e),绕 $y$ 轴旋转角度 $- α$ ,这里 $\sin (- α) =$ $\frac{- a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}}, \cos (- α) = \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} .$

\begin{matrix} (4.135d) & R_{2}^{- 1} = (\begin{matrix} \sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}} & - a_{y} & 0 \\ a_{y} & \sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), \end{matrix}

\begin{matrix} (4.135e) & R_{1}^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} & 0 & \frac{- a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{a_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} & 0 & \frac{a_{x}}{\sqrt{a_{x}^{2} + a_{z}^{2}}} \end{matrix}) . \end{matrix}

最后, 合成矩阵是

R (\vec{a}, φ)

\begin{matrix} (4.135f) & = R_{1}^{- 1} R_{2}^{- 1} R_{3} R_{2} R_{1} \end{matrix}

= (\begin{matrix} \cos φ + a_{x}^{2} (1 - \cos φ) & a_{x} a_{y} (1 - \cos φ) - a_{z} \sin φ & a_{x} a_{z} (1 - \cos φ) + a_{y} \sin φ \\ a_{y} a_{x} (1 - \cos φ) + a_{z} \sin φ & \cos φ + a_{y}^{2} (1 - \cos φ) & a_{y} a_{z} (1 - \cos φ) - a_{x} \sin φ \\ a_{z} a_{x} (1 - \cos φ) - a_{y} \sin φ & a_{z} a_{y} (1 - \cos φ) + a_{x} \sin φ & \cos φ + a_{z}^{2} (1 - \cos φ) \end{matrix}) .

(4.135g)

矩阵 $R (\vec{a}, φ)$ 是正交矩阵,即它的逆等于它的转置: $R^{- 1} (\vec{a}, φ) = R^{T} (\vec{a}, φ)$ . 还有下列公式成立:

R \vec{x} = R (\vec{a}, φ) \vec{x}

\begin{matrix} (4.136a) & = (\cos φ) \vec{x} + (1 - \cos φ) \frac{\vec{x} \cdot \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \vec{a} + \frac{\sin φ}{| \vec{a} |} \vec{a} \times \vec{x} \end{matrix}

\begin{matrix} (4.136b) & = (\cos φ) \vec{x} + (1 - \cos φ) {\vec{x}}_{\vec{a}} + (\sin φ) \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \times \vec{x} . \end{matrix}

在这些公式中向量 $\vec{x}$ 分解为两个分量,一个平行于 $\vec{a}$ ,另一个垂直于 $\vec{a}$ . 平行部分是 ${\vec{x}}_{\vec{a}} = \frac{\vec{x} \cdot \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \vec{a}$ ,垂直部分是 $\vec{r} = \vec{x} - {\vec{x}}_{\vec{a}}$ . 垂直部分在法向量为 $\vec{a}$ 的平面上,所以它的象是 $(\cos φ) \vec{r} + (\sin φ) {\vec{r}}^{*}$ ,其中 ${\vec{r}}^{*}$ 由 $\vec{r}$ 做正方向 $90^{\circ}$ 旋转得到: ${\vec{r}}^{*} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \times \vec{r}$ . 向量 $\vec{x}$ 旋转的结果是

{\vec{x}}_{\vec{a}} + (\cos φ) \vec{r} + (\sin φ) {\vec{r}}^{*}

\begin{matrix} (4.136c) & = \frac{\vec{x} \cdot \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \vec{a} + (\cos φ) (\vec{x} - \frac{\vec{x} \cdot \vec{a}}{{| \vec{a} |}^{2}} \vec{a}) + (\sin φ) \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} \times \vec{r}, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4.136d) & \vec{a} \times \vec{r} = \vec{a} \times (\vec{x} - {\vec{x}}_{\vec{a}}) = \vec{a} \times \vec{x} . \end{matrix}

优点

是计算机绘图学中的 “标准表示”,
不必确定卡丹角,
不会发生常平架锁定.

缺点

不适用于动画 (即旋转的插值).

4.4.2.5 旋转和四元数

如果将 (4.135f) 中的单位向量 $\vec{a}$ 等同于纯四元数 $\underset{―}{a}$ (同时旋转角 $φ$ 保持不变), 那么我们得到

R (\underset{―}{a}, φ) = (\begin{matrix} q_{0}^{2} + q_{1}^{2} - q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2 q_{1} q_{2} - 2 q_{0} q_{3} & 2 q_{1} q_{3} + 2 q_{0} q_{2} \\ 2 q_{1} q_{2} + 2 q_{0} q_{3} & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2 q_{2} q_{3} - 2 q_{0} q_{1} \\ 2 q_{1} q_{3} - 2 q_{0} q_{2} & 2 q_{2} q_{3} + 2 q_{0} q_{1} & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2} \end{matrix}) =: R (q),

(4.137a)

其中 $q_{0} = \cos \frac{φ}{2}$ 以及 $\underset{―}{q} = {(q_{1}, q_{2}, q_{3})}^{T} = {(a_{x}, a_{y}, a_{z})}^{T} \sin \frac{φ}{2}$ ,即 $q$ 是单位四元数 $q = q (\underset{―}{a}, φ) = \cos \frac{φ}{2} + \underset{―}{a} \sin \frac{φ}{2} \in H_{1}$ . 如果将向量 $\vec{x}$ 看作 $R^{3} ∋ \vec{x} = x_{1} i + x_{2} j + x_{3} k \in$ $H_{0}$ ,那么

\begin{matrix} (4.137b) & R (\underset{―}{a}, φ) \underset{―}{x} = R (q) \underset{―}{x} = q \underset{―}{x} \bar{q} . \end{matrix}

特别地,旋转矩阵的行是向量 $q {\underset{―}{e}}_{k} \bar{q}$ :

\begin{matrix} (4.137c) & R (\underset{―}{a}, φ) = (\begin{matrix} q (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \bar{q} & q (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \bar{q} & q (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \bar{q} \end{matrix}) = (\begin{array}{lll} q i \bar{q} & q j \bar{q} & q k \bar{q} \end{array}) \end{matrix}

推论:

旋转矩阵可以借助四元数 $q = \cos \frac{φ}{2} + \underset{―}{a} \sin \frac{φ}{2}$ 确定.
在四元数乘法的意义下,并且将 $R^{3}$ 等同于纯四元数集 $H_{0}$ ,对于旋转向量 $R (\underset{―}{a}, φ)$ , 有 $R (\underset{―}{a}, φ) \underset{―}{x} = q \underset{―}{x} \bar{q}$ .

对于每个单位四元数 $q \in H_{1}, q$ 和 $- q$ 确定相同的旋转,所以 $H_{1}$ 是 $SO (3)$ 的双重覆盖. 一个接着一个实施旋转对应于四元数的乘法, 即

\begin{matrix} (4.138) & R (q_{2}) R (q_{1}) = R (q_{1} q_{2}); \end{matrix}

并且共轭四元数对应于逆旋转:

\begin{matrix} (4.139) & R^{- 1} (q) = R (\bar{q}) \end{matrix}

绕轴 $60^{\circ}$ 旋转由 ${(1, 1, 1)}^{T}$ 定义. 首先应当将方向向量标准化: $\underset{―}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} {(1, 1, 1)}^{T}$ . 那么由 $\sin φ = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $\cos φ = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ ,可知旋转矩阵成为

R (\frac{1}{\sqrt{3}} {(1, 1, 1)}^{T}, 60^{\circ}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & 2 \end{matrix}) .

刻画这个旋转的四元数是

q = q (\frac{1}{\sqrt{3}} {(1, 1, 1)}^{T}, 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} (i + j + k) \sin 30^{\circ}

= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} (i + j + k) \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k) .

还有

q (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \bar{q} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k)) i (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k))

= (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k)) (\frac{\sqrt{3}}{2} i + \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} k + \frac{\sqrt{3}}{6} j)

= \frac{24}{36} i + \frac{24}{36} j - \frac{12}{36} k = \frac{1}{3} (2 i + 2 j - k) ≜ \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) .

可类似地确定另外两列:

q (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \bar{q} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k)) j (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k))

= \frac{1}{3} (- i + 2 j + 2 k) ≜ \frac{1}{3} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) .

q (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \bar{q} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k)) k (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} (i + j + k))

= \frac{1}{3} (2 i - j + 2 k) \overset{\land}{=} \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) .

R \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), 60^{\circ} = (\begin{array}{lll} q (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \bar{q} & q (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \bar{q} & q (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \bar{q} \end{array})

= \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & 2 \end{matrix})

4.4.2.6 四元数和卡丹角

用卡丹角给出的旋转矩阵 (参见第 395 页 (4.133a, 4.133b)) 恰为单位四元数 $q \in H_{1}$ 的旋转矩阵:

\begin{matrix} (4.140a) & R_{C} (α_{C}, β_{C}, γ_{C}) = R_{z} (γ_{C}) R_{y} (β_{C}) R_{x} (α_{C}) \end{matrix}

= (\begin{matrix} \cos β_{C} \cos γ_{C} & \sin α_{C} \sin β_{C} \cos γ_{C} - \cos α_{C} \sin γ_{C} & \cos α_{C} \sin β_{C} \cos γ_{C} + \sin α_{C} \sin γ_{C} \\ \cos β_{C} \sin γ_{C} & \sin α_{C} \sin β_{C} \sin γ_{C} + \cos α_{C} \cos γ_{C} & \cos α_{C} \sin β_{C} \sin γ_{C} - \sin α_{C} \cos γ_{C} \\ - \sin β_{C} & \sin α_{C} \cos β_{C} & \cos α_{C} \cos β_{C} \end{matrix}) .

(4.140b)

= {[r_{i j}]}_{i, j = 1}^{3}

\begin{matrix} (4.140c) & = (\begin{matrix} q_{0}^{2} + q_{1}^{2} - q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2 q_{1} q_{2} - 2 q_{0} q_{3} & 2 q_{1} q_{3} + 2 q_{0} q_{2} \\ 2 q_{1} q_{2} + 2 q_{0} q_{3} & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - q_{3}^{2} & 2 q_{2} q_{3} - 2 q_{0} q_{1} \\ 2 q_{1} q_{3} - 2 q_{0} q_{2} & 2 q_{2} q_{3} + 2 q_{0} q_{1} & q_{0}^{2} - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2} \end{matrix}) = R (0) \end{matrix}

\begin{matrix} (4.140d) & = (\begin{matrix} q (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \bar{q} & q (\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \bar{q} & q (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \bar{q} \end{matrix}) \end{matrix}

比较矩阵元素可得

\begin{matrix} (4.141a) & \tan γ_{C} = \frac{r_{21}}{r_{11}}, \sin β_{C} = - r_{31}, \tan α_{C} = \frac{r_{32}}{r_{33}} . \end{matrix}

一般地, 解并不唯一, 这是典型的三角问题. 然而, 可以通过定义域的讨论得到角的唯一性.

反之, 从旋转矩阵容易得到单位四元数:

\begin{matrix} (4.141b) & 4 q_{0} q_{1} = r_{32} - r_{23}, 4 q_{0} q_{2} = r_{13} - r_{31}, 4 q_{0} q_{3} = r_{21} - r_{12}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4.141c) & 4 q_{0}^{2} - 1 = 4 q_{0}^{2} - q_{0}^{2} - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} - q_{3}^{2} = r_{11} + r_{22} + r_{33} . \end{matrix}

因为 $q$ 和 $- q$ 定义同一个的旋转,可将 $q_{0}$ 确定为

\begin{matrix} (4.141d) & q_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{r_{11} + r_{22} + r_{33} + 1} . \end{matrix}

其他分量是

\begin{matrix} (4.141e) & q_{1} = \frac{r_{32} - r_{23}}{4 q_{0}}, q_{2} = \frac{r_{13} - r_{31}}{4 q_{0}}, q_{3} = \frac{r_{21} - r_{12}}{4 q_{0}} . \end{matrix}

设旋转矩阵如下:

R = \frac{1}{2} (\begin{matrix} \sqrt{2} & - \frac{1}{2} \sqrt{6} & \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \frac{1}{2} \sqrt{6} & - \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 & 1 & \sqrt{3} \end{matrix})

(1) 确定卡丹角: 依据上述公式 $\sin β_{C} = - r_{31} = 0$ ,所以 $β_{C} = k π, k \in Z$ . 还有 $\tan γ_{C} = \frac{r_{21}}{r_{11}} = 1$ ,所以 $γ_{C} = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$ ; 并且由 $\tan α_{C} = \frac{r_{32}}{r_{33}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 推出 $α_{C} = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$ . 如果将这些角限定为 “最小可能” 的,也就是角的绝对值 $\leq \frac{π}{2}$ ,那么它们是唯一的. 于是这些角是

α_{C} = \frac{π}{6}, β_{C} = 0, γ_{C} = \frac{π}{4} .

(2)确定产生这个旋转的单位四元数:

4 q_{0}^{2} - 1 = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{6} + \sqrt{3}),

所以

q_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{6} + \sqrt{3})} \approx 0.8924 = \cos \frac{φ}{2} .

(最小可能的) 角是 $φ = {53.6474}^{\circ}$ ,所以 $\sin \frac{φ}{2} = 0.4512$ .

(3) 确定 $q$ 的其他分量及旋转轴的方向 $\underset{―}{a} = {(a_{x}, a_{y}, a_{z})}^{T}$ :

q_{1} = \frac{r_{32} - r_{23}}{4 q_{0}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \sqrt{2}}{4 q_{0}} \approx 0.2391, 所以 a_{x} = \frac{q_{1}}{\sin \frac{φ}{2}} \approx 0.5299 .

q_{2} = \frac{r_{13} - r_{31}}{4 q_{0}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}}{4 q_{0}} \approx 0.0991, 所以 a_{y} = \frac{q_{2}}{\sin \frac{φ}{2}} \approx 0.2195 .

q_{3} = \frac{r_{21} - r_{12}}{4 q_{0}} = \frac{\frac{1}{2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2} \sqrt{6})}{4 q_{0}} \approx 0.3696,所以 a_{z} = \frac{q_{3}}{\sin \frac{φ}{2}} \approx 0.8192 .

注在计算 (4.141e) 中的分量时,当 $q_{0}$ 是零或接近于零时可能出现问题. 在这种情形, 单位四元数不能由 (4.141e) 中的公式确定. 为了理解这种情形, 我们讨论旋转矩阵的迹:

\begin{matrix} (4.142a) & Tr R = r_{11} + r_{22} + r_{33} = 4 q_{0}^{2} - 1. \end{matrix}

如果 $Tr R > 0$ ,那么 $q_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{Tr R + 1} > 0$ ,并且可以毫无问题地应用公式 (4.141e). 如果 $Tr R \leq 0$ ,那么 $q_{0}$ 可以接近于零. 此时要考虑主对角线上的最大元素. 设它是 $r_{11}$ ,那么 $| q_{1} |$ 大于 $| q_{2} |$ 或 $| q_{3} |$ . 分量 $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ 也可以由旋转矩阵的主对角元素确定. 平方根取正号, 可推出

q_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + r_{11} - r_{22} - r_{33}}, q_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + r_{22} - r_{11} - r_{33}},

\begin{matrix} (4.142b) & q_{3} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + r_{33} - r_{11} - r_{22}} . \end{matrix}

计算法则由这些事实可推出下列计算法则:

如果 $Tr R \leq 0$ ,并且 $r_{11} \geq r_{22}, r_{11} \geq r_{33}$ ,那么 $q_{1}$ 的绝对值最大,所以

\begin{matrix} (4.142c) & q_{0} = \frac{r_{32} - r_{23}}{4 q_{1}}, q_{2} = \frac{r_{21} + r_{12}}{4 q_{1}}, q_{3} = \frac{r_{13} + r_{31}}{4 q_{1}}; \end{matrix}

如果 $Tr R \leq 0$ ,并且 $r_{22} \geq r_{11}, r_{22} \geq r_{33}$ ,那么 $q_{2}$ 的绝对值最大,所以

\begin{matrix} (4.142d) & q_{0} = \frac{r_{13} - r_{31}}{4 q_{2}}, q_{1} = \frac{r_{21} + r_{12}}{4 q_{2}}, q_{3} = \frac{r_{23} + r_{32}}{4 q_{2}}; \end{matrix}

如果 $Tr R \leq 0$ ,并且 $r_{33} \geq r_{11}, r_{33} \geq r_{22}$ ,那么 $q_{3}$ 的绝对值最大,所以

\begin{matrix} (4.142e) & q_{0} = \frac{r_{21} - r_{12}}{4 q_{3}}, q_{1} = \frac{r_{31} + r_{13}}{4 q_{3}}, q_{2} = \frac{r_{23} + r_{32}}{4 q_{3}} . \end{matrix}

因为卡丹角定义绕对应轴的旋转, 所以我们可以发现下列表中给出的配置关系. 于是旋转

\begin{matrix} (4.142f) & R (α, β, γ) = R ({(0, 0, 1)}^{T}, γ) R ({(0, 1, 0)}^{T}, β) R ({(1, 0, 0)}^{T}, α) \end{matrix}

对应于单位四元数

\begin{matrix} (4.142g) & q = Q_{z} Q_{y} Q_{x} \end{matrix}

旋转	卡丹角	绕轴	四元数
$R_{C} ({(1, 0, 0)}^{T}, α_{C})$	$α_{C}$	$x$ 轴	$Q_{x} := \cos \frac{α_{C}}{2} + i \sin \frac{α_{C}}{2}$
$R_{C} ({(0, 1, 0)}^{T}, β_{C})$	$β_{C}$	$y$ 轴	$Q_{y} := \cos \frac{β_{C}}{2} + j \sin \frac{β_{C}}{2}$
$R_{C} ({(0, 0, 1)}^{T}, γ_{C})$	$γ C$	$z$ 轴	$Q_{z} := \cos \frac{γ_{C}}{2} + i \sin \frac{γ_{C}}{2}$

如果已知卡丹角是 $α_{C} = \frac{π}{6}, β_{C} = 0, γ_{C} = \frac{π}{4}$ ,那么刻画这个旋转的四元数可用下列方式确定:

Q_{x} = \cos \frac{α_{C}}{2} + i \sin \frac{α_{C}}{2} = \cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12},

Q_{y} = \cos \frac{β_{C}}{2} + j \sin \frac{β_{C}}{2} = \cos 0 + j \sin 0 = 1,

Q_{z} = \cos \frac{γ_{C}}{2} + k \sin \frac{γ_{C}}{2} = \cos \frac{π}{8} + k \sin \frac{π}{8} .

最终结果与 399 页给出的是一致的:

q := Q_{z} Q_{y} Q_{x}

= (\cos \frac{π}{8} + k \sin \frac{π}{8}) 1 (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})

= \cos \frac{π}{8} \cdot \cos \frac{π}{12} + i \cos \frac{π}{8} \cdot \sin \frac{π}{12} + j \sin \frac{π}{8} \cdot \sin \frac{π}{12} + k \sin \frac{π}{8} \cdot \cos \frac{π}{12}

= 0.8924 + 0.2391 i + 0.0991 j + 0.3696 k .

4.4.2.7 算法的有效性

为估计算法的有效性, 我们定义标准运算, 而更复杂的运算都源于这些运算. 关于与其他方法细致而复杂的比较, 可见 [4.26].

令

M: 乘法的次数,

$◼ A$ :加法和减法的次数,

$◼ D$ : 除法的次数,

S: 引入标准函数的次数,如三角函数,是由相当次数的乘法、除法和加法的

合成.

$◼ C$ : 表达式相比较的次数, 由于中断算法它增加了计算时间.

运算	A	M	D	S	C
四元数化为矩阵	12	12
矩阵化为四元数 $(Tr R > 0)$	6	5	1	1	1
矩阵化为四元数 $(Tr R \leq 0)$	6	5	1	1	3

向量的旋转	A	M	注
用旋转矩阵	6	9
用单位四元数	24	32	正规四元数乘法
用单位四元数	17	24	快速四元数乘法
用单位四元数	18	21	转换为旋转矩阵

旋转	A	M	注
用旋转矩阵	$6 n$	$9 n$
用单位四元数	24n	32n	正规四元数乘法
用单位四元数	17n	24n	快速四元数乘法
用单位四元数	$12 + 6 n$	$12 + 9 n$	转换为旋转矩阵

两个旋转的合成	A	M
用旋转矩阵	18	27
用单位四元数	12	16

总结仅当旋转是一个接一个地进行, 基于四元数的算法才较快. 这主要出现在动画片的计算机绘图 (即旋转的逼近) 中.

4.4.2 R3 中旋转的表示 ​

4.4.2.1 物体绕坐标轴的旋转 ​

4.4.2.2 卡丹角 ​

角 αC,βC,γC 称作卡丹角. 于是旋转矩阵是 ​

优点 ​

4.4.2.3 欧拉角 ​

旋转矩阵是 ​

4.4.2.4 绕任意零点轴的旋转 ​

缺点 ​

4.4.2.5 旋转和四元数 ​

4.4.2.6 四元数和卡丹角 ​

4.4.2.7 算法的有效性 ​