13.2.3 向量梯度

关系式 (13.32a) 启发了记号

\begin{matrix} (13.47a) & \frac{\partial \vec{V}}{\partial \vec{a}} = \vec{a} \cdot grad (V_{x} {\vec{e}}_{x} + V_{y} {\vec{e}}_{y} + V_{z} {\vec{e}}_{z}) = \vec{a} \cdot grad \vec{V}, \end{matrix}

其中 $grad \vec{V}$ 被称为向量梯度 (vector gradient). 从 (13.47a) 的矩阵记号即得,向量梯度作为一个张量, 可以由一个矩阵来表示:

\begin{matrix} (13.47b) & (\vec{a} \cdot grad) \vec{V} = (\begin{matrix} \frac{\partial V_{x}}{\partial x} & \frac{\partial V_{x}}{\partial y} & \frac{\partial V_{x}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{y}}{\partial x} & \frac{\partial V_{y}}{\partial y} & \frac{\partial V_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{z}}{\partial x} & \frac{\partial V_{z}}{\partial y} & \frac{\partial V_{z}}{\partial z} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix}), \end{matrix}

\begin{matrix} (13.47c) & grad \vec{V} = (\begin{array}{lll} \frac{\partial V_{x}}{\partial x} & \frac{\partial V_{x}}{\partial y} & \frac{\partial V_{x}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{y}}{\partial x} & \frac{\partial V_{y}}{\partial y} & \frac{\partial V_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{z}}{\partial x} & \frac{\partial V_{z}}{\partial y} & \frac{\partial V_{z}}{\partial z} \end{array}) . \end{matrix}

这些类型的张量在工程学中, 例如对于张力和弹性的描述, 有非常重要的作用 (参见第 377 页 4.3.2, 4.).

13.2.3 向量梯度 ​