11.2.2 逐次逼近法、诺伊曼级数

1. 迭代法

类似于对于常微分方程解的皮卡迭代法(Picard iteration method)(参见第 727 页 9.1.1.5,1.), 需要给出一个迭代法来解第二类弗雷德霍姆积分方程. 从方程

$$\begin{array}{}\text{(11.10)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

开始,定义一个函数序列 ${\phi }_0\left(x\right),{\phi }_1\left(x\right),{\phi }_2\left(x\right),\cdots$ . 令第一个函数为 ${\phi }_0\left(x\right)=f\left(x\right)$ . 可以由下述公式得到后续的 ${\phi }_n\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(11.11a)}& {\phi }_n\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right){\phi }_{n-1}\left(y\right)\mathrm{d}y\left(n=1,2,\cdots ;{\phi }_0\left(x\right)=f\left(x\right)\right).\end{array}$$

按照给定的方法, 第一步是

$$\begin{array}{}\text{(11.11b)}& {\phi }_1\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

根据迭代公式,把 $\phi \left(x\right)$ 的这个表达式代入 (11.10) 的右端. 为了避免积分变量的误解,在 (11.11b) 中用 $\eta$ 表示 $y$ .

$$\begin{array}{}\text{(11.11c)}& {\phi }_2\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\left[f\left(y\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(y,\eta \right)f\left(\eta \right)\mathrm{d}\eta \right]\mathrm{d}y\end{array}$$$$=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y+{\lambda }^2{\int }_a^b{\int }_a^{b}K\left(x,y\right)K\left(y,\eta \right)f\left(\eta \right)\mathrm{d}y\mathrm{d}\eta .(11$$

引进记号 $K_1\left(x,y\right)=K\left(x,y\right)$ 和 $K_2\left(x,y\right)={\int }_a^{b}K\left(x,\xi \right)K\left(\xi ,y\right)\mathrm{d}\xi$ ,并重新把 $\eta$ 记为 $y$ ,则可以把 ${\phi }_2\left(x\right)$ 写为

$$\begin{array}{}\text{(11.11e)}& {\phi }_2\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^b{K}_1\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y+{\lambda }^2{\int }_a^b{K}_2\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

记

$$\begin{array}{}\text{(11.11f)}& K_n\left(x,y\right)={\int }_a^{b}K\left(x,\xi \right)K_{n-1}\left(\xi ,y\right)\mathrm{d}\xi \left(n=2,3,\cdots \right),\end{array}$$

则 $n$ 次迭代函数 ${\phi }_n\left(x\right)$ 有表达式

$$\begin{array}{}\text{(11.11g)}& {\phi }_n\left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^b{K}_1\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y+\cdots +{\lambda }^n{\int }_a^b{K}_n\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

其中 $K_n\left(x,y\right)$ 被称为 $K\left(x,y\right)$ 的 $n$ 次迭代核(n-th iterated kernel).

2. 诺伊曼级数的收敛性

为了得到解 $\phi \left(x\right)$ ,需要讨论被称为诺伊曼级数的 $\lambda$ 的幂级数

$$\begin{array}{}\text{(11.12)}& f\left(x\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^n{\int }_a^b{K}_n\left(x,y\right)f\left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

的收敛性. 如果函数 $K\left(x,y\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 是有界的,即成立不等式

$$\begin{array}{}\text{(11.13a)}& \left|K\left(x,y\right)\right|<M\left(a\le x\le b,a\le y\le b\right)\text{ 和 }\left|f\left(x\right)\right|<N\left(a\le x\le b\right),\end{array}$$

则级数

$$\begin{array}{}\text{(11.13b)}& N\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left|\lambda M(b-a)\right|}^n\end{array}$$

是幂级数 (11.12) 的一个优级数. 这个几何级数对于所有

$$\begin{array}{}\text{(11.13c)}& \left|\lambda \right|<\frac{1}{M\left(b-a\right)}\end{array}$$

是收敛的. 对于所有满足 (11.13c) 的 $\lambda$ ,该诺伊曼级数是绝对和一致收敛的. 通过对诺伊曼级数项更精确的估计, 可以给出更确切的收敛区间. 据此, 对于

$$\begin{array}{}\text{(11.13d)}& \left|\lambda \right|<\frac{1}{\sqrt{{\int }_a^b{\int }_a^b{\left|K(x,y)\right|}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}},\end{array}$$

诺伊曼级数是收敛的. 对于 $\lambda$ 的这个限制并不意味着对任意在由 (11.13d) 所规定的有界集合外的 $\lambda$ 不存在解,而只是不能由该诺伊曼级数得到解. 表达式

$$\begin{array}{}\text{(11.14a)}& \mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{n-1}{K}_n\left(x,y\right)\end{array}$$

被称为积分方程的预解式 (resolvent) 或解核(solving kernel). 利用预解式得到形如

$$\begin{array}{}\text{(11.14b)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^b\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)f\left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

的解.

可 对于第二类非齐次弗雷德霍姆积分方程 $\phi \left(x\right)=x+\lambda {\int }_0^{1}xy\phi \left(y\right)\mathrm{d}y$ ,有 $K_1\left(x,y\right)=$ $xy,K_2\left(x,y\right)={\int }_0^{1}x\eta \eta y\mathrm{d}y=\frac{1}{3}xy,K_3\left(x,y\right)=\frac{1}{9}xy,\cdots ,K_n\left(x,y\right)=\frac{xy}{3^{n-1}}$ ,并由此得到 $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=xy\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{3^n}\right)$ . 在限制(11.13c)下,因为 $\left|K\left(x,y\right)\right|\le M=1$ ,所以诺伊曼级数对于 $\left|\lambda \right|<1$ 必定收敛. 预解式 $\mathrm{\Gamma }\left(x,y;\lambda \right)=\frac{xy}{1-\frac{\lambda }{3}}$ 是一个几何级数,它甚至当 $\left|\lambda \right|<3$ 时都是收敛的. 这样,由 (11.14b) 即得 $\phi \left(x\right)=x+\lambda {\int }_0^1\frac{x{y}^2}{1-\frac{\lambda }{3}}\mathrm{d}y=$$\frac{x}{1-\frac{\lambda }{3}}$

注 如果对于一个给定的 $\lambda$ ,关系式 (11.13d) 不成立,此时任一连续核可以被分解为两个连续核之和 $K\left(x,y\right)=K^1\left(x,y\right)+K^2\left(x,y\right)$ ,其中 $K^1\left(x,y\right)$ 是一个退化核,而 $K^2\left(x,y\right)$ 充分小,使得(11.13d)成立. 用这种方法,对于不是本征值的任意 $\lambda$ ,也有一个明确的解法.