14.4.2 留数定理的应用

借助于留数定理可以计算一个变量实函数的一些定积分. 如果在复平面的包含实轴的上半平面中除了实轴上方有限个奇点 $z_1,z_2,\cdots ,z_n$ 处 (图 14.45) 外,函数 $f\left(z\right)$ 是解析的,并且如果方程 $f\left(1/z\right)=0$ 的根之一有重数 $m\ge 2$ (参见第 56 页 1.6.3.1,1.),则

$$\begin{array}{}\text{(14.56)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2\pi \mathrm{i}\sum _{i=1}^n{\mathrm{Res}f\left(z\right)|}_{z=z_i}.\end{array}$$

• 积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{{(1+x^2)}^3}$ 的计算: 方程 $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{{(1+\frac{1}{x^2})}^3}=\frac{x^6}{{(x^2+1)}^3}=0$ 在 $x=0$ 处有一个 6 重根. 函数 $w=\frac{1}{{(1+z^2)}^3}$ 在上半平面有一个单奇点 $z=\mathrm{i}$ ,它是一个 3 阶极点,因为 $\mathrm{i}$ 和 $-\mathrm{i}$ 分别是方程 ${(1+z^2)}^3=0$ 的三重根. 根据 (14.54b),留数为 ${}^{\text{①}}$

Res $\frac{1}{{{(1+z^2)}^3|}_{z=\mathrm{i}}}=\frac{1}{2!}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}{\left[\frac{{(z-\mathrm{i})}^3}{{(1+z^2)}^3}\right]}_{z=\mathrm{i}}$ . 从 $\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}{\left(\frac{z-\mathrm{i}}{1+z^2}\right)}^3=\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}{(z+\mathrm{i})}^{-3}=$ $12{(z+\mathrm{i})}^{-5}$ ,即得 $\mathrm{Res}\frac{1}{{{(1+z^2)}^3|}_{z=\mathrm{i}}}={6{(z+\mathrm{i})}^{-5}|}_{z=\mathrm{i}}=\frac{6}{{\left(2\mathrm{i}\right)}^5}=-\frac{3}{16}\mathrm{i}$ ,再利用 (14.56),得 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2\pi \mathrm{i}\left(-\frac{3}{16}\mathrm{i}\right)=\frac{3}{8}\pi$ . 留数定理的进一步应用,见 [14.18].

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① 函数 $\frac{1}{{(1+z^2)}^3}$ 在 $z=\mathrm{i}$ 处留数应表示为 ${\mathrm{Res}\frac{1}{{(1+z^2)}^3}|}_{z=\mathrm{i}}$ . ——译者注

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