2.16.1 步骤

2.16.1.1 曲线形状的比较

若只有关于函数 $y=f\left(x\right)$ 的经验数据,则有可能通过两步得到一个近似公式. 首先选择一个含三个参数的近似公式, 再计算参数的值. 若对这类公式没有理论上的描述, 可以先从所有可能的函数中选择一个最简单的近似公式, 再将其曲线与经验数据曲线相比较. 有时从直观上去判断的相似性并不可靠, 故此选择完近似公式后, 确定参数之前必须检查它是否恰当.

2.16.1.2 修正

假设 $x$ 与 $y$ 之间有明确关系,选择近似公式时引进两个函数 $X=\phi \left(x,y\right)$ 和 $Y=\psi \left(x,y\right)$ ,满足线性关系

$$\begin{array}{}\text{(2.254)}& Y=AX+B,\end{array}$$

其中 $A,B$ 为常数. 对给定的 $x$ 和 $y$ 的值,计算相应的 $X$ 和 $Y$ 的值,借助其图示很容易判断出它们是否大约在一条直线上, 据此能够判断所选择的公式恰当与否.

$◼\mathbf{A}$: 若近似公式为 $y=\frac{x}{ax+b}$ ,则可令 $X=x,Y=\frac{x}{y}$ ,有 $Y=aX+b$ ; 另外也

可令 $X=\frac{1}{x},Y=\frac{1}{y}$ ,有 $Y=a+bX$ .

$◼\mathbf{B}$: 利用半对数坐标纸, 参见第 151 页 2.17.2.1.

$◼\mathbf{C}$:利用双对数坐标纸, 参见第 152 页 2.17.2.2.

为了确定经验数据是否满足线性关系 $Y=AX+B$ ,可以利用线性回归或相关(参见第 1095 页 16.3.4). 把函数关系化简成线性关系称为修正, 本页 2.16.2 中举例介绍了一些公式的修正, 148 页 2.16.2.12 也详细讨论了一个例子.

2.16.1.3 参数的确定

最小二乘法是确定参数的最重要、最准确的方法 (参见第 1097 页 16.3.4.2), 但有时也可以成功地采用一些更简单的方法, 如平均值法.

1. 平均值法

利用 “修正” 的变量 $X$ 和 $Y$ 的线性相关性 $Y=AX+B$ ,平均值法如下进行: 把给定值 $Y_i,X_i$ 的条件方程分为两组,每组方程的数目相等或者近似相等,通过向这两组方程中添加方程,可以得到两个方程,从中确定出 $A,B$ . 接着由最初的 $x,y$ 代替 $X$ 和 $Y$ ,就得到了要找的 $x,y$ 之间的关系.

若不能确定所有的参数,可以借助其他量 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 的修正再次利用平均值法 (参见第 147 页 2.16.2.11 中的例子).

当某些参数出现在近似公式的非线性关系中时, 前面所说的修正和平均值法都会用到, 具体例子见 (2.267b) 和 (2.267c).

2. 最小二乘法

当某些参数出现在近似公式的非线性关系中时, 最小二乘法往往会产生非线性拟合问题. 它们的解往往要经过大量数值计算和一个比较好的初始近似, 利用修正和平均值法可能确定这些近似.