2.4.6 倒数幂

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.50)}& y=\frac{a}{x^n}=a{x}^{-n}\left(a\ne 0,n\text{ 为大于零的整数 }\right)\end{array}$$

的图像为一双曲型曲线,坐标轴是渐近线,间断点为 $x=0$ (图 2.21).

情形 $\mathbf{a}$ ) 当 $a>0$ 且 $n$ 为偶数时,函数值由 0 增加到 $+\mathrm{\infty }$ ,再由 $+\mathrm{\infty }$ 减小到趋于 0,且一直为正. 当 $n$ 为奇数时,函数值由 0 减小到 $-\mathrm{\infty }$ ,然后跳跃到 $+\mathrm{\infty }$ 并减小到趋于 0 .

情形 b) 当 $a<0$ 且 $n$ 为偶数时,函数值由 0 减小到 $-\mathrm{\infty }$ ,再增加至趋于 0, 且一直为负. 当 $n$ 为奇数时,函数值由 0 增加到 $+\mathrm{\infty }$ ,然后跳跃到 $-\mathrm{\infty }$ 并增加到趋于 0 .

函数没有极值. $n$ 越大,曲线趋近 $x$ 轴的速度越快,趋近 $y$ 轴的速度越慢. 若 $n$ 为偶数,曲线关于 $y$ 轴对称; 若 $n$ 为奇数,曲线关于原点呈中心对称. 图 2.21 是当 $a=1$ 时 $n=2$ 和 $n=3$ 的图像.