12.9.4 Lp空间

设 $\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ 是一测度空间, $p$ 是一实数, $1\le p<\mathrm{\infty }$ . 对于可测函数 $f$ ,根据第 907 页 12.9.2.2,函数 ${\left|f\right|}^p$ 也可测,从而可定义表达式

$$\begin{array}{}\text{(12.220)}& N_p\left(f\right)={(\int {\left|f\right|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}\left(\text{ 可能等于 }\mathrm{\infty }\right).\end{array}$$

可测函数 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 称作 $p$ 次幂可积或 $L^p$ 函数,是指 $N_p\left(f\right)<\mathrm{\infty }$ ,或等价地,指 ${\left|f\right|}^p$ 可积.

对于每一 $p,1\le p<\mathrm{\infty }$ ,所有 $L^p$ 函数集,即所有 $X$ 上相对 $\mu$ 为 $p$ 次幂可积的函数集记作 ${\mathcal{L}}^p\left(\mu \right)$ ,或 ${\mathcal{L}}^p\left(X\right)$ ,或更详细地,记作 ${\mathcal{L}}^p\left(X,\mathcal{A},\mu \right)$ . 对于 $p=1$ ,使用简单记号 $\mathcal{L}\left(X\right)$ . 对于 $p=2$ ,函数称作二次可积的. $X$ 上所有可测的 $\mu$ -a.e. 有界函数集记作 ${\mathcal{L}}^{\mathrm{\infty }}\left(X\right)$ ,并且函数 $f$ 的本质上确界定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.221)}& N_{\mathrm{\infty }}\left(f\right)=\mathrm{ess}supf=inf\{a\in \mathbb{R}:\left|f\left(x\right)\right|\le a\mu \text{-a.e. }\}.\end{array}$$

在 ${\mathcal{L}}^p\left(\mu \right)\left(1\le p\le \mathrm{\infty }\right)$ 中引入可测函数通常的运算,并考虑到积分的闵可夫斯基不等式 (参见第 41 页 1.4.2.13),可知 ${\mathcal{L}}^p\left(\mu \right)$ 是一向量空间,并且 $N_p(\cdot )$ 是其上的准范数. 如果 $f\le g$ 意味着 $f\left(x\right)\le g\left(x\right)\mu$ -a.e. 成立,那么 ${\mathcal{L}}^p\left(\mu \right)$ 还是一个向量格,甚至是一个 $\mathrm{K}$ 空间 (参见第 863 页 12.1.7.4). 两个函数 $f,g$ 称作等价的(或干脆称相等),是指在 $X$ 上 $f=g\mu$ -a.e. 于是按此方式, $\mu$ -a.e. 相等的函数认为是等同的. 集合 ${\mathcal{L}}^p\left(X\right)$ 相对于线性子空间 $N_p^{-1}\left(0\right)$ 的商空间给出等价类的集合,原有的代数运算和序关系可以自然地移植到此集合. 从而又得到向量格 (K 空间), 记作 $L^p\left(X,\mu \right)$ 或 $L^p\left(\mu \right)$ ,其元如前一样仍称作函数,但实际上,现在它们是等价函数类.

非常重要的是,现在 $\parallel \hat{f}{\parallel }_p=N_p\left(f\right)$ 是 $L^p\left(\mu \right)$ 上的范数 $(\hat{f}$ 表示 $f$ 的等价类, 此后仍将简记作 $f)$ ,而对于每个 $p,1\le p\le \mathrm{\infty },\left(L^p\left(\mu \right),\parallel \cdot {\parallel }_p\right)$ 是一个巴拿赫格,其范数和序之间有着很好的相容性. 对于 $p=2,L^2\left(\mu \right)$ 是希尔伯特空间 (见 [12.15]), 其标量积是 $\left(f,g\right)=\int f\overline{g}\mathrm{d}\mu$ .

最常考虑的空间是 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,其中 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 是可测子集,根据 (参见第 908 页 12.9.3.1) 的第 5 步, 这个空间的定义已不成问题.

空间 $L^p\left(\mathrm{\Omega },\lambda \right)$ (其中 $\lambda$ 是 $n$ 维勒贝格测度) 也可以作为不完备赋范空间 $\mathcal{C}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 的完备化 (参见第 873 页 12.2.2.5 和 875 页 12.3.2),这里 $\mathcal{C}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 是集合 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 上所有连续函数的集合,赋以积分范数 $\parallel x{\parallel }_p={(\int {\left|x\right|}^p\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{p}}\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ (见 [12.21]).

设 $X$ 是有穷测度的集合,即 $\mu \left(X\right)<\mathrm{\infty }$ ,并假定实数 $p_1,p_2,1\le p_1<p_2\le \mathrm{\infty }$ , 那么 $L^{p_2}\left(X,\mu \right)\subset L^{p_1}\left(X,\mu \right)$ ,并且存在常数 $C=C\left(p_1,p_2,\mu \left(X\right)\right)>0$ (与 $x$ 无关), 使得有估计 $\parallel x{\parallel }_1\le C\parallel x{\parallel }_2,\mathrm{\forall }x\in L^{p_2}$ (这里 $\parallel x{\parallel }_k$ 表示 $L^{p_k}\left(X,\mu \right)$ 的范数, $k=1,2$ ).