2.13.4 内摆线与星形线

一个动圆内切于一个定圆做无滑动滚动时, 动圆圆周上一点的轨迹称为内摆线(图 2.70). 内摆线的方程、顶点坐标、尖点坐标、弧长公式、面积公式以及曲率半径都与外摆线的相应公式类似,只需用 “ $-a$ ” 代替原来的 “ $+a$ ”. 当 $m$ 为整数、有理数和无理数时,尖点的个数都与外摆线相同 (现在 $m>1$ 成立).

$m=2$ 当 $m=2$ 时,曲线实际上为定圆的直径.

$m=3$ 当 $m=3$ 时,内摆线有三个分支 (图 2.70(a)),方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.245a)}& x=a\left(2\cos \phi +\cos 2\phi \right),y=a\left(2\sin \phi -\sin 2\phi \right),\end{array}$$

且有 $L_{\text{总 }}=16a,S_{\text{总 }}=2\pi a^2$ .

$m=4$ 当 $m=4$ 时 (图 2.70(b)),内摆线有四个分支,称为星形线. 笛卡儿坐标系下的方程和参数方程分别为

$$\begin{array}{}\text{(2.245b)}& x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=A^{\frac{2}{3}},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2.245c)}& x=A{\cos }^3\phi ,y=A{\sin }^3\phi \left(0\le \phi <\pi \right),\end{array}$$

且有 $L_{\text{总 }}=24a=6A,S_{\text{总 }}=\frac{3}{8}\pi A^2$ .