15.6.2 沃尔什函数系

与三角函数类似,也可以考虑周期阶梯函数. 把区间 $I=[0,1)$ 视为周期区间, 且分割成 $2^n$ 个等长度的子区间. 设 $S_n$ 是这样一个区间上周期为 1 的周期阶梯函数的集合. 属于 $S_n$ 的不同阶梯函数可视为有限维向量空间的向量,由于任何函数 $g\in S_n$ 可通过子区间内其值 $g_0,g_1,g_2,\cdots ,g_{2^n-1}$ 进行定义,且可视为向量:

$$\begin{array}{}\text{(15.159)}& {\underset{―}{g}}^{\mathrm{T}}=\left(g_0,g_1,g_2,\cdots ,g_{2^n-1}\right).\end{array}$$

属于 $S_n$ 的沃尔什函数在该空间内形成在适当内积下的正交基. 有多种不同方式列举基向量, 故可得到诸多不同的沃尔什函数系, 实际上却包含了相同的函数. 应该提到其中的三种函数系: 沃尔什-克罗内克函数、沃尔什-喀茨马茨 (Kaczmarz) 函数和沃尔什-佩利 (Paley) 函数.

构建沃尔什变换与构建傅里叶变换类似, 其中三角函数的作用被沃尔什函数取代. 比如, 我们可得到, 沃尔什级数、沃尔什多项式、沃尔什正弦变换和沃尔什余弦变换、沃尔什积分, 以及类似于快速傅里叶变换的快速沃尔什变换. 对沃尔什函数理论和应用的介绍可参见 [15.6].(聂淑媛 译)