4.6.1 一般特征值问题

设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是两个 $n$ 阶方阵. 它们的元素可以是实数或复数. 一般特征值问题是确定满足方程

$$\begin{array}{}\text{(4.193)}& \mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\lambda \mathbf{B}\underset{―}{\mathbf{x}}\end{array}$$

的数 $\lambda$ 及相应的向量 $\underset{―}{x}\ne \underset{―}{0}$ . 数 $\lambda$ 称为特征值,向量 $\underset{―}{x}$ 称为对应于 $\lambda$ 的特征向量. 因为若 $\underset{―}{x}$ 是一个对应于 $\lambda$ 的特征向量,则 $c\underset{―}{x}(c$ 是常数) 也是一个特征向量,所以特征向量可以确定到不计常数因子. 在 $\mathbf{B}=\mathbf{I}$ 的特殊情形 (这里 $\mathbf{I}$ 是 $n$ 阶单位矩阵), 即

$$\begin{array}{}\text{(4.194)}& \mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}=\lambda \underset{―}{\mathbf{x}}\text{ 或 }\left(\mathbf{A}-\lambda \right)\underset{―}{\mathbf{x}}=\underset{―}{\mathbf{0}},\end{array}$$

相应问题称作特殊特征值问题. 它经常出现在实际问题中,特别是 $\mathbf{A}$ 为对称矩阵的问题中, 因而下面要详细讨论. 关于一般特征值问题的更多的信息可在文献 [4.1] 中找到.