12.1.5 线性算子和泛函

12.1.5.1 映射

从集合 $D\subset X$ 到集合 $Y$ 的映射 $T:D\to Y$ 称作

• 内射, 是指

$$\begin{array}{}\text{(12.19)}& T\left(x\right)=T\left(y\right)\Rightarrow x=y.\end{array}$$

• 满射, 是指

$$\begin{array}{}\text{(12.20)}& \mathrm{\forall }y\in Y\text{,存在元}x\in D\text{使得}T\left(x\right)=y\text{.}\end{array}$$

$D$ 称作映射 $T$ 的定义域,记作 $D_T$ 或 $D\left(T\right)$ ,而 $Y$ 的子集 $\{y\in Y:\mathrm{\exists }x\in D_T$ 使得 $T\left(x\right)=y\}$ 称作映射 $T$ 的值域,并记作 $\mathcal{R}\left(T\right)$ 或 $\mathrm{Im}\left(T\right)$ .

12.1.5.2 同态和自同态

设 $X$ 和 $Y$ 是同一个域 $\mathbb{F}$ 上的两个向量空间, $D$ 是 $X$ 的一线性子集,映射 $T:D\to Y$ 称作是线性的(或线性变换、线性算子或同态),是指对于任意 $x,y\in D$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{F}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.21)}& T\left(\alpha x+\beta y\right)=\alpha Tx+\beta Ty.\end{array}$$

对于线性算子,类似于线性函数那样,习惯喜欢使用记号 $Tx$ ,而对于一般的算子,则使用记号 $T\left(x\right)$ .

值域 $\mathcal{R}\left(T\right)$ 是使得方程 $Tx=y$ 至少有一个解的所有 $y\in Y$ 的全体组成的集合. $N\left(T\right)=\{x\in X:Tx=0\}$ 是算子 $T$ 的零空间或核,有时也记作 $\ker \left(T\right)$ .

向量空间 $X$ 到其自身的映射称作自同态. 如果 $T$ 是一个线性内射,那么由关系

$$\begin{array}{}\text{(12.22)}& y\mapsto x\text{使得}Tx=y,y\in \mathcal{R}\left(T\right)\end{array}$$

确定的 $\mathcal{R}\left(T\right)$ 上的映射是线性的,记作 $T^{-1}:\mathcal{R}\left(T\right)\to X$ ,称作 $T$ 的逆. 如果 $Y$ 是向量空间 $\mathbb{F}$ ,那么线性映射 $f:X\to \mathbb{F}$ 称作线性泛函或线性型.

12.1.5.3 同构向量空间

一个双内射 $T:X\to Y$ 称作向量空间 $X$ 和 $Y$ 的同构(映射). 两个向量空间称作同构的, 是指它们之间存在同构映射.