11.4.2 通过微商得到的解

对于某些沃尔泰拉积分方程,在关于 $x$ 求微商,或者可以作适当的代换后积分为零. 假设函数 $K\left(x,y\right),K_x\left(x,y\right)$ 和 $\phi \left(x\right)$ 是连续的,或者,在第二类积分方程的情形, $\phi \left(x\right)$ 是可微的,对

$$\begin{array}{}\text{(11.60a)}& f\left(x\right)={\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.60b)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

关于 $x$ 求微商,分别得到

$$\begin{array}{}\text{(11.60c)}& f^{\prime }\left(x\right)=K\left(x,x\right)\phi \left(x\right)+{\int }_a^x\frac{\partial }{\partial x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.60d)}& {\phi }^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+K\left(x,x\right)\phi \left(x\right)+{\int }_a^x\frac{\partial }{\partial x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

• 求方程 ${\int }_0^x\cos \left(x-2y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=\frac{1}{2}x\sin x$ (I) 在 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 中的解 $\phi \left(x\right)$ . 关于 $x$ 对此方程两次求导,给出 $\phi \left(x\right)\cos x-{\int }_0^x\sin \left(x-2y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\left(\sin x+x\cos x\right)$ (IIa) 和 ${\phi }^{\prime }\left(x\right)\cos x-{\int }_0^x\cos \left(x-2y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=\cos x-\frac{1}{2}x\sin x$ (IIb). 第二个方程中的积分与原始问题中的积分是一样的,因而可以替换它. 这导致 ${\phi }^{\prime }\left(x\right)\cos x=\cos x$ , 并且因为对于 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 有 $\cos x\ne 0$ ,故有 ${\phi }^{\prime }\left(x\right)=1$ ,因而 $\phi \left(x\right)=x+C$ .

为了确定常数 $C$ ,在 (IIa) 中代入 $x=0$ ,得到 $\phi \left(0\right)=0$ . 因而 $C=0$ ,因此 (I) 的解为 $\phi \left(x\right)=x$ .

注 如果沃尔泰拉积分方程的核是一个多项式, 那么通过求微商可以把积分方程变为一个线性微分方程. 假设核中 $x$ 的最高次是 $n$ . 则在关于 $x$ 对积分方程求 $n+1$ 次导数后,在第一类积分方程的情形即得到一个 $n$ 阶微分方程,在第二类积分方程的情形即得到一个 $n+1$ 阶微分方程. 当然这要假设 $\phi \left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 如需要那样地可微多次.

$◼{\int }_0^x\left[2{(x-y)}^2+1\right]\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=x^3\left({\mathrm{I}}^{\ast }\right)$ . 关于 $x$ 三次微商后得到 $\phi \left(x\right)+4{\int }_0^x(x-$$y)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=3x^2\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{a}\right),{\phi }^{\prime }\left(x\right)+4{\int }_0^x\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=6x\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{b}\right),{\phi }^{\prime \prime }\left(x\right)+4\phi \left(x\right)=$$6\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{c}\right)$ . 微分方程 $\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{c}\right)$ 的通解是 $\phi \left(x\right)=A\sin 2x+B\cos 2x+\frac{3}{2}$ . 把 $x=0$ 代入 $\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{a}\right)$ 和 $\left({\mathrm{II}}^{\ast }\mathrm{b}\right)$ ,得到 $\phi \left(0\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(0\right)=0$ . 因而 $A=0,B=-1.5$ . 所以积分方程 $\left({\mathrm{I}}^{\ast }\right)$ 的解为 $\phi \left(x\right)=\frac{3}{2}\left(1-\cos 2x\right)$ .