12.9.5 分布

12.9.5.1 分部积分公式

对于任意 (开) 区域 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n,{\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 表示 $\mathrm{\Omega }$ 上具有紧支集的任意多次可微函数 $\phi$ 的集合,这里所谓紧支集是指集合 $\mathrm{supp}\left(\phi \right)=\overline{\{x\in \mathrm{\Omega }:\phi \left(x\right)\ne 0\}}$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中是紧的,并且位于 $\mathrm{\Omega }.{\mathbb{R}}^n$ 上所有相对于勒贝格测度局部可和的函数集记作 $L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ , 即在 $\mathrm{\Omega }$ 上使得对于任意有界区域 $\omega \subset \mathrm{\Omega }$ 有 ${\int }_{\omega }\left|f\right|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ 的可测函数 (等价类) $f$ 的全体. 这两个集都是向量空间 (在自然的代数运算下).

对于 $1\le p\le \mathrm{\infty }$ ,有 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)\subset L_{\text{loc }}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,而对于有界集 $\mathrm{\Omega }$ ,则有 $L^1\left(\mathrm{\Omega }\right)=$ $L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ . 如果 ${\mathcal{C}}^k\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)$ 的元看作 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 中对应元生成的等价类,那么对于有界集 $\mathrm{\Omega }$ , 有 ${\mathcal{C}}^k\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)\subset L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,这里 ${\mathcal{C}}^k\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)$ 同时也是稠的. 如果 $\mathrm{\Omega }$ 是无界的,那么 ${\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ (在此意义下) 在 $L^p\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 中是稠的.

对于给定的函数 $f\in {\mathcal{C}}^k\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)$ 和任意函数 $\phi \in {\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,分部积分公式具有如下形式:

$$\begin{array}{}\text{(12.222)}& {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(x\right)D^{\alpha }\phi \left(x\right)\mathrm{d}\lambda ={(-1)}^{\left|\alpha \right|}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\phi \left(x\right)D^{\alpha }f\left(x\right)\mathrm{d}\lambda ,\mathrm{\forall }\alpha ,\left|\alpha \right|\le k,\end{array}$$

这里使用了事实: ${D^{\alpha }\phi |}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0$ . 这个公式将作为定义函数 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 的广义导数的出发点.

12.9.5.2 广义导数

假定 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ . 如果存在一函数 $g\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,使得 $\mathrm{\forall }\phi \in {\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,对于某个多重标号 $\alpha$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.223)}& {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(x\right)D^{\alpha }\phi \left(x\right)\mathrm{d}\lambda ={(-1)}^{\left|\alpha \right|}{\int }_{\mathrm{\Omega }}g\left(x\right)\phi \left(x\right)\mathrm{d}\lambda ,\end{array}$$

那么 $g$ 称作 $f$ 的 $\alpha$ 阶广义导数(索伯列夫意义下导数,或分布导数),如同经典情形那样,记作 $g=D^{\alpha }f$ .

向量空间 ${\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 中的序列 ${\left\{{\phi }_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛于 $\phi$ 定义为

${\phi }_k\to \phi$ 当且仅当 $\{\begin{array}{ll}\mathrm{a})& \mathrm{\exists }\text{ 紧集 }K\subset \mathrm{\Omega }\text{ 使得 }\mathrm{supp}\left({\phi }_k\right)\subset K,\mathrm{\forall }k\\ \mathrm{b})& \text{ 对于每个多重标号 }\alpha ,\text{ 在 }K\text{ 上一致 }{D}^{\alpha }{\phi }_k\to D^{\alpha }\phi \end{array}$(12.224)

集合 ${\mathcal{C}}_0^{\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 赋以这样的序列收敛后称作基本空间,并记作 $\mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ . 其中的元称作测试函数.

12.9.5.3 分布

$\mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的连续线性泛函 $\ell$ 称作广义函数或分布,这里线性泛函 $\ell$ 连续是指 $($ 参见第 873 页 12.2.3):

$$\begin{array}{}\text{(12.225)}& \phi ,{\phi }_n\in \mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right),{\phi }_n\to \phi \Rightarrow \ell \left({\phi }_n\right)\to \ell \left(\phi \right).\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: 如果 $f\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,那么

$$\begin{array}{}\text{(12.226)}& {\ell }_f\left(\phi \right)=\left(f,\phi \right)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(x\right)\phi \left(x\right)\mathrm{d}\lambda ,\phi \in \mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)\end{array}$$

是一分布. 像 (12.226) 这样由局部可和函数定义的分布称作正则分布. 两个正则分布相等,即 ${\ell }_f\left(\phi \right)={\ell }_g\left(\phi \right),\mathrm{\forall }\phi \in \mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,当且仅当相对于测度 $\lambda ,f=g$ a.e.

$◼\mathbf{B}$: 设 $a\in \mathrm{\Omega }$ 是任意固定点. 那么 ${\ell }_{{\delta }_a}\left(\phi \right)=\phi \left(a\right),\phi \in \mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,是 $\mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 上的连续线性泛函,从而是一分布,称作狄拉克分布、 $\delta$ 分布或 $\delta$ 函数.

由于 ${\delta }_a$ 不可能由任何局部可和函数产生 (见 [12.12],[12.27]),因此这是非正则分布的一个例子.

所有分布的集合记作 ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ . 根据相比 890 页 12.5.4 中讨论的更一般的对偶理论, ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 可以作为 $\mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 的对偶空间得到. 因而在此意义下应该写 ${\mathcal{D}}^{\ast }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 代替 ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ . 在空间 ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 中,可以定义与其元有关的运算,以及与 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ 的函数有关的运算,例如,分布的导数,或两个分布的卷积,从而使得 ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 不仅在理论研究中, 而且在电子工程、力学等实际应用中都起着十分重要的作用.

至于广义函数的概况和应用例子, 例如参见 [12.12], [12.27].

12.9.5.4 分布的导数

设 $\ell$ 是一给定的分布. 由公式

$$\begin{array}{}\text{(12.227)}& \left(D^{\alpha }\ell \right)\left(\phi \right)={(-1)}^{\left|\alpha \right|}\ell \left(D^{\alpha }\phi \right),\phi \in \mathcal{D}\left(\mathrm{\Omega }\right)\end{array}$$

定义的分布 $D^{\alpha }\ell$ 称作 $\ell$ 的 $\alpha$ 阶导数.

设 $f$ 是 (比方说) $\mathbb{R}$ 上连续可微函数 (故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上局部可和,并且可以看作是一个分布),设 $f^{\prime }$ 是其经典导数,而 $D^{1}f$ 是其一阶分布导数. 那么

$$\begin{array}{}\text{(12.228a)}& \left(D^{1}f,\phi \right)={\int }_{\mathbb{R}}{f}^{\prime }\left(x\right)\phi \left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

据此由分部积分可得

$$\begin{array}{}\text{(12.228b)}& \left(D^{1}f,\phi \right)=-{\int }_{\mathbb{R}}f\left(x\right){\phi }^{\prime }\left(x\right)\mathrm{d}x=\left(f,{\phi }^{\prime }\right).\end{array}$$

在正则分布 ${\ell }_f$ 的情形下 $\left(f\in L_{\mathrm{loc}}^1\left(\mathrm{\Omega }\right)\right)$ ,利用 (12.226) 可得

$$\begin{array}{}\text{(12.229)}& \left(D^{\alpha }{\ell }_f\right)\left(\phi \right)={(-1)}^{\left|\alpha \right|}{\ell }_f\left(D^{\alpha }\phi \right)={(-1)}^{\left|\alpha \right|}{\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(x\right)D^{\alpha }\phi \mathrm{d}\lambda ,\end{array}$$

这是函数 $f$ 在索伯列夫意义下的广义导数 (见 (12.223)).

$◼\mathbf{A}$: 非正则分布 $\delta$ 可以看作赫维赛德函数 (显然是可和的)

$$\begin{array}{}\text{(12.230)}& \mathrm{\Theta }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge 0,\\ 0,& x<0\end{array}\end{array}$$

产生的正则分布的导数.

$◼\mathbf{B}$: 在技术和物理问题的建模中, 面临作用集中于一点 (理想化意义下) 的情形, 例如 “点” 作用、针偏转、碰撞等,数学上它们可以用 $\delta$ 或赫维赛德函数来描述. 例如, 在长 $\ell$ 的梁上某一点 $a\left(0\le a\le \ell \right)$ 处集中点质量 $m$ ,于是其相应的质量密度为 $m{\delta }_a$ . 假定在弦质量系统中在 $t_0$ 时刻存在瞬间外作用力 $F$ ,则其运动方程为 $\ddot{x}+{\omega }^{2}x=$ $F{\delta }_{t_0}$ . 在初始条件 $x\left(0\right)=\dot{x}\left(0\right)=0$ 下,其解是 $x\left(t\right)=\frac{F}{\omega }\sin \left(\omega \left(t-t_0\right)\right)\mathrm{\Theta }\left(t-t_0\right)$ .