2.2.1 代数函数

在代数函数中,自变量 $x$ 和函数 $y$ 由如下形式的代数方程联系起来:

$$\begin{array}{}\text{(2.36)}& p_0\left(x\right)+p_1\left(x\right)y+p_2\left(x\right)y^2+\cdots +p_n\left(x\right)y^n=0,\end{array}$$

其中, $p_0,p_1,\cdots ,p_n$ 是关于 $x$ 的多项式.

$◼3x{y}^3-4xy+x^3-1=0$ ,即 $p_0\left(x\right)=x^3-1,p_1\left(x\right)=-4x,p_2\left(x\right)=0,p_3\left(x\right)=3x$ . 若能够解出关于 $y$ 的代数方程 (2.36),则存在一个以下类型的最简代数函数.

2.2.1.1 多项式

仅进行自变量 $x$ 的加、减、乘法运算,有

$$\begin{array}{}\text{(2.37)}& y=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0.\end{array}$$

特别地, $y=a$ 是常函数, $y=ax+b$ 是线性函数, $y=a{x}^2+bx+c$ 是二次函数.

2.2.1.2 有理函数

有理函数总能表示成两个多项式的比值:

$$\begin{array}{}\text{(2.38a)}& y=\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0}.\end{array}$$

特别地,

$$\begin{array}{}\text{(2.38b)}& y=\frac{ax+b}{cx+d}\end{array}$$

称为齐次或线性分式函数.

2.2.1.3 无理函数

除了列举的有理函数的运算外, 自变量也可出现在开方符号中.

$◼\mathbf{A}$: $y=\sqrt{2x+3},$

$◼\mathbf{B}$: $y=\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)\sqrt{x}}$ .