17.2.6 一维映射的混沌

对紧区间到自身的连续映射, 有几个充分条件可以保证存在混沌的不变集合. 下面考虑三个例子.

赛奈 (Sinai) 定理 设 $\phi :I\to I$ 为紧区间 $I=\left[0,1\right]$ 到自身的连续映射,则 $I$ 上系统 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 在德瓦尼意义下是混沌的当且仅当 $\phi$ 在 $I$ 上的拓扑熵 $h\left(\phi \right)$ 是正的.

沙可夫斯基 (Sharkovsky) 定理 考虑如下方式的正整数排列:

$$3\succ 5\succ 7\succ \cdots \succ 2\cdot 3\succ 2\cdot 5\succ \cdots \succ 2^2\cdot 3\succ 2^2\cdot 5\succ \cdots \succ 2^3\succ 2^2\succ 2\succ 1.$$

(17.60)

设 $\phi :I\to I$ 为紧区间到自身的连续映射, $\left\{{\phi }^k\right\}$ 在 $I$ 上有一个 $n$ 周期轨道,则对 $n\succ m,\left\{{\phi }^k\right\}$ 也有一个 $m$ 周期轨道.

Block-Guckerheimer-Misiuriewicz 定理 设 $\phi :I\to I$ 为紧区间 $I$ 到自身的连续映射,若 $\left\{{\phi }^k\right\}$ 有一个 $2^{n}m$ 周期轨道 $\left(m>1\text{,奇数}\right)$ ,则 $h\left(\phi \right)\ge \frac{\ln 2}{2^{n+1}}$ .