11.4.1 理论基础

第二类沃尔泰拉积分方程有形式

$$\begin{array}{}\text{(11.56)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+{\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

要求在闭区间 $I=\left[a,b\right]$ 或半开区间 $I=[a,\mathrm{\infty })$ 中自变量 $x$ 的解函数 $\phi \left(x\right)$ . 关于第二类沃尔泰拉积分方程的解有下述定理: 如果 $I$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 和三角形区域 $x\in I,y\in \left[a,x\right]$ 上的函数 $K\left(x,y\right)$ 是连续的,则积分方程存在一个唯一 (unique) 解 $\phi \left(x\right)$ ,使得它在 $I$ 上是连续的. 对于这个解,有

$$\begin{array}{}\text{(11.57)}& \phi \left(a\right)=f\left(a\right).\end{array}$$

在许多情形, 第一类沃尔泰拉积分方程可以被变为第二类沃尔泰拉积分方程. 因而, 关于解的存在性和唯一性定理在某些改动下也成立.

1. 通过微商的变换

假设 $\phi \left(x\right),K\left(x,y\right)$ 和 $K_x\left(x,y\right)$ 是连续函数,则通过关于 $x$ 求微商,可以把第一类积分方程

$$\begin{array}{}\text{(11.58a)}& f\left(x\right)={\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\end{array}$$

变为下述形式

$$\begin{array}{}\text{(11.58b)}& f^{\prime }\left(x\right)=K\left(x,x\right)\phi \left(x\right)+{\int }_a^x\frac{\partial }{\partial x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

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①原文把(11.54f)中的求和号误为 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}$ . - 译者注

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如果对于所有 $x\in I,K\left(x,x\right)\ne 0$ ,则用 $K\left(x,x\right)$ 除该方程,就得到一个第二类积分方程.

2. 通过部分积分的变换

假设 $\phi \left(x\right),K\left(x,y\right)$ 和 $K_y\left(x,y\right)$ 是连续的,那么由部分积分可以对 (11.58a) 中的积分求值. 代换

$$\begin{array}{}\text{(11.59a)}& {\int }_a^x\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=\psi \left(x\right)\end{array}$$

给出

$$f\left(x\right)={\left[K(x,y)\psi \left(y\right)\right]}_{y=a}^{y=x}-{\int }_a^x\left(\frac{\partial }{\partial y}K\left(x,y\right)\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y$$$$\begin{array}{}\text{(11.59b)}& =K\left(x,x\right)\psi \left(x\right)-{\int }_a^x\left(\frac{\partial }{\partial y}K\left(x,y\right)\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

如果对于 $x\in I,K\left(x,x\right)\ne 0$ ,那么用 $K\left(x,x\right)$ 除就给出一个第二类积分方程:

$$\begin{array}{}\text{(11.59c)}& \psi \left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{K\left(x,x\right)}+\frac{1}{K\left(x,x\right)}{\int }_a^x\left(\frac{\partial }{\partial y}K\left(x,y\right)\right)\psi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

对解 $\psi \left(x\right)$ 求微商导出(11.58a)的解 $\phi \left(x\right)$ .