16.1.1 全排列

1. 定义

$n$ 个元素的一个全排列是 $n$ 个元素的一个排序.

2. 无重复全排列数

$n$ 个互异元素的不同全排列数是

$$\begin{array}{}\text{(16.1)}& {\mathrm{P}}_n=n!\text{.}\end{array}$$

16 个学生坐到教室的 16 个座位上, 共有 16! 种不同的坐法.

3. 有重复全排列数

若 $n$ 个元素中有 $k\left(k\le n\right)$ 个元素相同,则其不同的全排列数 ${\mathrm{P}}_n^{\left(k\right)}$ 是

$$\begin{array}{}\text{(16.2)}& {\mathrm{P}}_n^{\left(k\right)}=\frac{n!}{k!}.\end{array}$$

• 把 16 个学生的书包放到教室的 16 把椅子上, 其中 4 个书包是相同的, 则书包的不同放置方式有 $16!/4!$ 种.

4. 推广

若 $n$ 个元素中包含 $m$ 类重数分别是 $k_1,k_2,\cdots ,k_m\left(k_1+k_2+\cdots +k_m=n\right)$ 的不同元素,则其不同的全排列数 ${\mathrm{P}}_n^{(k_1,k_2,\cdots ,k_m)}$ 是

$$\begin{array}{}\text{(16.3)}& {\mathrm{P}}_n^{(k_1,k_2,\cdots ,k_m)}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}.\end{array}$$

$◼$ 假设我们用数字4,4,5,5,5构造五位数,可组成 ${\mathrm{P}}_5^{(2,3)}=\frac{5!}{2!3!}=10$ 个不同的数.