11.5.1 阿贝尔积分方程

把积分方程对物理问题的首批应用之一是由阿贝尔 (Abel) 考虑的. 一个质点在一个铅垂平面中沿着一条曲线,仅在重力影响下从点 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 到点 $P_1\left(x_1,y_1\right)$ (图 11.2) 运动着.

质点在曲线一个点处的速度是

$$\begin{array}{}\text{(11.68)}& v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2g\left(y_0-y\right)}.\end{array}$$

下落时间作为 $y_0$ 的函数由下述积分所计算:

$$\begin{array}{}\text{(11.69a)}& T\left(y_0\right)={\int }_0^l\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{2g\left(y_0-y\right)}}.\end{array}$$

如果 $s$ 被视为 $y$ 的函数,即 $s=f\left(y\right)$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(11.69b)}& T\left(y_0\right)={\int }_0^{y_0}\frac{1}{\sqrt{2g}}\frac{f^{\prime }\left(y\right)}{\sqrt{y_0-y}}\mathrm{d}y.\end{array}$$

下一个问题是当下落时间被给定后,作为 $y_0$ 的函数确定曲线的形状. 由代换

$$\begin{array}{}\text{(11.69c)}& \sqrt{2g}\cdot T\left(y_0\right)=F\left(y_0\right)\text{ 以及 }{f}^{\prime }\left(y\right)=\phi \left(y\right),\end{array}$$

并改变记号,把 $y_0$ 记作 $x$ ,就得到一个第一类沃尔泰拉积分方程:

$$\begin{array}{}\text{(11.69d)}& F\left(x\right)={\int }_0^x\frac{\phi \left(y\right)}{\sqrt{x-y}}\mathrm{d}y.\end{array}$$

现在考虑稍微一般的方程

$$\begin{array}{}\text{(11.70)}& f\left(x\right)={\int }_a^x\frac{\phi \left(y\right)}{{(x-y)}^{\alpha }}\mathrm{d}y,\text{ 其中 }0<\alpha <1.\end{array}$$

当 $y=x$ 时,这个方程的核不是有界的. 在 (11.70) 中,形式地用 $\xi$ 代替变量 $y$ ,用 $y$ 代替变量 $x$ . 在这些代换下,得到形如 $\phi =\phi \left(x\right)$ 的解. 如果在 (11.70) 的两端都

乘以 $\frac{1}{{(x-y)}^{1-\alpha }}$ ,并在 $\left[a,x\right]$ 上关于 $y$ 积分,即产生方程

$$\begin{array}{}\text{(11.71a)}& {\int }_a^x\frac{1}{{(x-y)}^{1-\alpha }}\left({\int }_a^y\frac{\phi \left(\xi \right)}{{(y-\xi )}^{\alpha }}d\xi \right)\mathrm{d}y={\int }_a^x\frac{f\left(y\right)}{{(x-y)}^{1-\alpha }}\mathrm{d}y.\end{array}$$

改变左端的积分次序, 得到

$$\begin{array}{}\text{(11.71b)}& {\int }_a^x\phi \left(\xi \right)\left\{{\int }_{\xi }^x\frac{\mathrm{d}y}{{(x-y)}^{1-\alpha }{(y-\xi )}^{\alpha }}\right\}\mathrm{d}\xi ={\int }_a^x\frac{f\left(y\right)}{{(x-y)}^{1-\alpha }}\mathrm{d}y.\end{array}$$

可以用代换 $y=\xi +\left(x-\xi \right)u$ 来计算内积分:

$$\begin{array}{}\text{(11.71c)}& {\int }_{\xi }^x\frac{\mathrm{d}y}{{(x-y)}^{1-\alpha }{(y-\xi )}^{\alpha }}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}u}{u^{\alpha }{(1-u)}^{1-\alpha }}=\frac{\pi }{\sin \left(\alpha \pi \right)}.\end{array}$$

将此结果代入 (11.71b). 在关于 $x$ 求微商后即得到函数 $\phi \left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(11.71d)}& \phi \left(x\right)=\frac{\sin \left(\alpha \pi \right)}{\pi }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^x\frac{f\left(y\right)}{{(x-y)}^{1-\alpha }}\mathrm{d}y.\end{array}$$

$◼x={\int }_0^x\frac{\phi \left(y\right)}{\sqrt{x-y}}\mathrm{d}y,\phi \left(x\right)=\frac{1}{\pi }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\frac{y}{\sqrt{x-y}}\mathrm{d}y=\frac{2}{\pi }\sqrt{x}.$