7.2.1 一般收敛定理

7.2.1.1 无穷级数的收敛与发散

1. 无穷级数与无穷级数的和

由无穷数列 $\left\{a_k\right\}$ 的各项 $a_k$ (参见第 613 页 7.1.1.1),可得到形式表达式

$$\begin{array}{}\text{(7.12)}& a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k,\end{array}$$

该式称为无穷级数 (以后简称级数), $a_k$ 是级数的通项. 有限和

$$\begin{array}{}\text{(7.13)}& S_1=a_1,S_2=a_1+a_2,\cdots ,S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k\end{array}$$

称为部分和.

2. 收敛级数与发散级数

若部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 收敛,则称级数 (7.12) 收敛,极限

$$\begin{array}{}\text{(7.14)}& S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\end{array}$$

称为级数的和. 若极限 (7.14) 不存在或等于 $\pm \mathrm{\infty }$ ,则称该级数发散,此时部分和是无界的或振荡的. 因此要想确定无穷级数是否收敛,只需确定数列 $\left\{S_n\right\}$ 的极限.

$◼\mathbf{A}$: 几何级数 (参见第 23 页 1.2.3)

$$\begin{array}{}\text{(7.15)}& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots \end{array}$$

收敛,且和为 $S=2$ (参见第 23 页 (1.54b),其中 $a_0=1,q=1/2$ ).

|B: 调和级数 (7.16) 以及级数 (7.17) 和 (7.18)

$$\begin{array}{}\text{(7.16)}& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.17)}& 1+1+1+\cdots +1+\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.18)}& 1-1+1-\cdots +{(-1)}^{n-1}+\cdots \end{array}$$

发散. 对级数 (7.16) 和 (7.17), $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\mathrm{\infty }$ ,级数 (7.18) 为振荡级数.

3. 余项

收敛级数 $S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ 的余项为它的和 $S$ 与部分和 $S_n$ 之差:

$$\begin{array}{}\text{(7.19)}& R_n=S-S_n=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots .\end{array}$$

7.2.1.2 收敛级数的一般定理

(1)级数收敛的必要条件 收敛级数的项列为零序列, 即

$$\begin{array}{}\text{(7.20)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0.\end{array}$$

该条件为级数收敛的必要非充分条件.

$◼$ 在调和级数 (7.16) 中, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ ,但 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\mathrm{\infty }$ .

(2)去掉初始项 若开始时在级数中去掉有限多个初始项或添加有限多个初始项, 或者改变有限多项的次序, 级数的敛散性不变. 若级数的和存在, 交换级数有限多项的次序并不影响和的值.

(3) 各项倍乘 若把收敛级数各项同时乘以相同因子 $c$ ,则级数的敛散性不变, 且其和也变为原来的 $c$ 倍.

(4)逐项相加或相减 把两个收敛级数

$$\begin{array}{}\text{(7.21a)}& a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=S_1,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.21b)}& b_1+b_2+\cdots +b_n+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k=S_2\end{array}$$

逐项相加或相减, 得到的仍然是一个收敛级数, 其和或差为

$$\begin{array}{}\text{(7.21c)}& \left(a_1\pm b_1\right)+\left(a_2\pm b_2\right)+\cdots +\left(a_n\pm b_n\right)+\cdots =S_1\pm S_2.\end{array}$$