2.14.3 对数螺线

对数螺线 (图 2.75) 与从原点 $O$ 出发的所有射线的交角均相等,为 $\alpha$ . 对数螺线的极坐标方程为

$$\begin{array}{}\text{(2.249)}& \rho =a^{k\phi }\left(a>0,-\mathrm{\infty }<\phi <\mathrm{\infty }\right),\end{array}$$

其中 $k=\cot \alpha$ . 曲线的渐近点为原点, $\stackrel{⏜}{P_1{P}_2}$ 的弧长 $L=\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\left({\rho }_2-{\rho }_1\right)$ ,从原点到 $P$ 的曲线 $\stackrel{⏜}{OP}$ 弧长的极限 $L_0=\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\rho$ . 曲率半径 $r=\sqrt{1+k^2}\rho =L_{0}k$ .

圆的特例 若 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ ,则 $k=0$ ,曲线为圆.