12.3.2 巴拿赫空间

完备的赋范空间称作巴拿赫空间. 通过第 873 页 12.2.2.5 给出的完备化程序, 并将代数运算和范数按自然方式扩展到 $\tilde{X}$ ,从而每个赋范空间都可以完备化成一个巴拿赫空间 $\tilde{X}$ .

12.3.2.1 赋范空间中的级数

在赋范空间 $X$ 中,可以考虑无穷级数. 这就是说,对于给定的序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ , $x_n\in X$ ,按如下方式构建新的序列:

$$\begin{array}{}\text{(12.87)}& s_1=x_1,s_2=x_1+x_2,\cdots ,s_k=x_1+x_2+\cdots +x_k=s_{k-1}+x_k,\cdots ,\end{array}$$

如果序列 ${\left\{s_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛,即存在 $s\in X$ 使得 $\Vert \begin{array}{c}{s}_k-s\end{array}\Vert \to 0\left(k\to \mathrm{\infty }\right)$ ,则就定义了一个收敛级数. $s_1,s_2,\cdots ,s_k,\cdots$ 称作级数的部分和. 极限

$$\begin{array}{}\text{(12.88)}& s=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^k{x}_n\end{array}$$

就是级数的和,并记作 $s=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ . 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ 称作绝对收敛,是指数项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert \begin{array}{c}{x}_n\end{array}\Vert$ 收敛. 在巴拿赫空间中每个绝对收敛的级数都是收敛的,并且 $\parallel s\parallel \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert \begin{array}{c}{x}_n\end{array}\Vert$ ,这里 $s$ 为其和.

12.3.2.2 巴拿赫空间的例子

$◼\mathbf{A}$: ${\mathbb{F}}^n,\parallel x\parallel ={(\sum _{k=1}^n{\left|{\xi }_k\right|}^p)}^{\frac{1}{p}}$ ,如果 $1\le p<\mathrm{\infty };\parallel x\parallel =\underset{1\le k\le n}{max}\left|{\xi }_k\right|$ ,如果 $p=\mathrm{\infty }$ .(12.89a)

这些同一个向量空间 ${\mathbb{F}}^n$ 上的赋范空间通常记作 ${\ell }^p\left(n\right)\left(1\le p\le \mathrm{\infty }\right)$ . 当 $1\le p<\mathrm{\infty }$ 时,在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 的情况下,这些空间称作欧几里得空间,而在 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 的情况下则称作酉空间.

$◼$ $\mathbf{B}$: $\mathbf{m},\parallel x\parallel =\underset{k}{sup}\left|{\xi }_k\right|$ .(12.89b)

$◼\mathbf{C}$: $c$ 和 $c_0$ 的范数与 $m$ 的范数相同.(12.89c)

$◼\mathbf{D}$: ${\ell }^p,\parallel x\parallel =\parallel x{\parallel }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|{\xi }_n\right|}^p)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\mathrm{\infty }$ .(12.89d)

$◼\mathbf{E}$: $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),\parallel x\parallel =\underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\left|x\left(t\right)\right|$ .(12.89e)

$◼\mathbf{F}$: $L^p\left(\left(a,b\right)\right)\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right),\parallel x\parallel =\parallel x{\parallel }_p={\left({\int }_a^b{\left|x\left(t\right)\right|}^p\mathrm{d}t\right)}^{\frac{1}{p}}$ .(12.89f)

$◼\mathbf{G}$: $\left(e^{\left(k\right)}\right),\parallel x\parallel =\sum _{\ell =1}^k\underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\left|x^{\left(\ell \right)}\left(t\right)\right|$ ,这里 $x^{\left(0\right)}\left(t\right)$ 表示 $x\left(t\right)$ .(12.89g)

12.3.2.3 索伯列夫空间

设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$ 为一有界区域,即具有充分光滑边界 $\partial \mathrm{\Omega }$ 的一个开连通集. 对于 $n=1$ ,或 $n=2,3$ ,可以将之想象成一个区间(a, b),或一个有界凸集.

函数 $f:\overline{\mathrm{\Omega }}\to \mathbb{R}$ 称作在闭区域 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上 $k$ -次连续可微,是指 $f$ 在 $\mathrm{\Omega }$ 上 $k$ -次连续可微,并且其每一阶偏导数在边界上 (即当 $x$ 逼近 $\partial \mathrm{\Omega }$ 的任意点时) 都有有穷极限. 就是说所有的偏导数都可以连续延拓到 $\mathrm{\Omega }$ 的边界上,即每一阶偏导数都是 $\overline{\mathrm{\Omega }}$ 上的连续函数. 在该向量空间中 $\left(p\in [1,\mathrm{\infty }\right))$ ,采用 ${\mathbb{R}}^n$ 中的勒贝格测度 $\lambda$ (参见第 906 页 12.9.1, 2. 中的例C), 定义如下范数:

$$\begin{array}{}\text{(12.90)}& \parallel f{\parallel }_{k,p}=\parallel f\parallel ={({\int }_{\overline{\mathrm{\Omega }}}{\left|f\left(x\right)\right|}^p\mathrm{d}\lambda +\sum _{1\le \left|\alpha \right|\le k}{\int }_{\overline{\mathrm{\Omega }}}{\left|D^{\alpha }f\left(x\right)\right|}^p\mathrm{d}\lambda )}^{\frac{1}{p}}.\end{array}$$

如此得到的赋范空间记作 ${\tilde{W}}^{k,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 或 ${\tilde{W}}_p^k\left(\mathrm{\Omega }\right)$ (注意空间 ${\mathcal{C}}^{\left(k\right)}$ 具有完全不同的范数). 这里 $\alpha$ 表示一个多重标号,即非负整数组成的有序 $n$ -数组 $\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right),\alpha$ 的分量之和记作 $\left|\alpha \right|={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$ . 对于函数 $f\left(x\right)=f\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right),x=$ $\left({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n\right)\in \overline{\mathrm{\Omega }},\left(12.90\right)$ 中使用了十分简洁的记号:

$$\begin{array}{}\text{(12.91)}& D^{\alpha }f=\frac{D^{\left|\alpha \right|}}{\partial {\xi }_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial {\xi }_n^{{\alpha }_n}}.\end{array}$$

赋范空间 ${\tilde{W}}^{k,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 是不完备的. 其完备化空间记作 $W^{k,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,或者在 $p=2$ 的情形下,记作 $H^k\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,称作索伯列夫 (Sobolev) 空间.