5.3.1 运算

1. $n$ 元运算

结构的概念在数学及其应用中起着重要作用. 其次是研究代数结构, 即在其上定义了运算的集合. 集合 $A$ 上的一个 $n$ 元运算 $\phi$ 是一个映射 $\phi :A^n\to A$ ,它对于每个 $A$ 的元素的 $n$ 组指派 $A$ 的一个元素.

2. 二元运算的性质

特别重要的是 $n=2$ 的情形,它称为二元运算,例如,数或矩阵的加法和乘法, 或集合的并和交. 一个二元运算可以看作一个映射 $\ast :A\times A\to A$ ,在本章多数情形用中缀形式 “ $a\ast b$ ” 代替这里的记号 “ $\ast \left(a,b\right)$ ”. 若 $A$ 中的二元运算 $\ast$ ,对于每个 $a,b,c\in A$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.80)}& \left(a\ast b\right)\ast c=a\ast \left(b\ast c\right),\end{array}$$

则称为结合的, 有

$$\begin{array}{}\text{(5.81)}& a\ast b=b\ast a.\end{array}$$

则称为交换的.

元素 $e\in A$ 称为关于 $A$ 中的二元运算 $\ast$ 的中性元素,如果对于每个 $a\in A$ 有

$$\begin{array}{}\text{(5.82)}& a\ast e=e\ast a=a.\end{array}$$

3. 外运算

有时还考虑外运算. 这就是从 $K\times A$ 到 $K$ 的映射,其中 $K$ 是一个 “外部” 的并且多数是已经构造的集合 (参见第 489 页 5.3.8).