2.4.3 第 I 类三次曲线

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.47)}& y=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\left(=\frac{a{x}^2+bx+c}{x^2}\right)\left(b\ne 0,c\ne 0\right)\end{array}$$

的图像为一三次曲线 (第 I 类) (图 2.18),有两条渐近线 $x=0$ 和 $y=a$ ,且有两个分支. 其中一个分支上, $y$ 在 $a$ 与 $+\mathrm{\infty }$ 或 $a$ 与 $-\mathrm{\infty }$ 之间单调变化; 另一个分支穿过三个特征点: 与渐近线 $y=a$ 的交点 $A\left(-\frac{c}{b},a\right)$ ,极值点 $B\left(-\frac{2c}{b},a-\frac{b^2}{4c}\right)$ 及拐点 $C\left(-\frac{3c}{b},a-\frac{2b^2}{9c}\right)$ . 分支的位置取决于 $b,c$ 的符号,共四种情况 (图 2.18). 若与 $x$ 轴有交点 $D,E$ ,则当 $a\ne 0$ 时交点坐标为 $\left(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)$ ,当 $a=0$ 时交点坐标为 $\left(-\frac{c}{b},0\right)$ ; 根据 $b^2-4ac>0,b^2-4ac=0$ 或 $b^2-4ac<0$ ,交点的个数可能为两个、一个 ( $x$ 轴为切线) 或 0 个.

当 $b=0$ 时,函数 (2.47) 变为 $y=a+\frac{c}{x^2}$ (参见 (图 2.21) 倒数幂),当 $c=0$ 时,函数 (2.47) 变成单应函数 $y=\frac{ax+b}{x}$ ,它是 (2.46) 的一种特殊情况.