1.3.4 年金的计算

1.3.4.1 年金

若定期在相同的时间间隔内进行系列还款, 在间隔开始或期末, 以相等或变化的数量还款, 称为年金支付. 需要区分:

a) 分期付款 周期付款, 称为租金, 分期偿还且产生复利, 因此可使用 1.3.2 节的公式.

b) 收款 租金由产生复利的资金生成, 此时可使用 1.3 .3 节的年金计算公式, 其中, 年金称为租金. 若支付的实际利息不超过租金, 称为永久年金.

租金还款 (储蓄和报酬) 可在利息期限内或在利息周期内较短的时间间隔, 即一年内进行.

1.3.4.2 普通年金的终值

计息日和还款日应该一致. 以 $p\mathrm{\%}$ 的复利计算利息,分期还款 (租金) 总是相同的,都为 $R$ . 普通年金的终值 $R_n$ ,即 $n$ 个周期后,定期储蓄的数量将增至:

$$\begin{array}{}\text{(1.85)}& R_n=R\frac{q^n-1}{q-1}\text{ 且 }q=1+\frac{p}{100}.\end{array}$$

普通年金的现值 $R_0$ 是第一个利息周期 (一次) 开始时应支付的数量, $n$ 个周期内,以复利达到终值 $R_n$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.86)}& R_0=\frac{R_n}{q^n}\text{ 且 }q=1+\frac{p}{100}.\end{array}$$

$◼$ 某人从公司每年年末索要€5000,周期为 10 年. 第一次支付前,公司宣布破产. 从破产资产管理处只能获得普通年金的现值 $R_0$ . 若年利息为 $4\mathrm{\%}$ ,此人可得

$$R_0=\frac{1}{q^n}R\frac{q^n-1}{q-1}=R\frac{1-q^{-n}}{q-1}=5000\frac{1-{1.04}^{-10}}{0.04}=\text{€}40554.48.$$

1.3.4.3 $n$ 次年金支付后的余额

对于普通的年金支付,资金 $K$ 按 $p\mathrm{\%}$ 的利息处置. 任一利息周期后,支付数量为 $r.n$ 次利息周期即 $n$ 次租金还款后,余额 $K_n$ 为

$$\begin{array}{}\text{(1.87a)}& K_n=K{q}^n-R_n=K{q}^n-r\frac{q^n-1}{q-1}\text{ 且 }q=1+\frac{p}{100}.\end{array}$$

根据(1.87a)式进行计算:

$$\begin{array}{}\text{(1.87b)}& r=K\frac{p}{100}.\end{array}$$

因此 $K_n=K$ ,故资金不变,这是永久年金情形.

$$\begin{array}{}\text{(1.87c)}& r>K\frac{p}{100}.\end{array}$$

$N$ 次租金还款后,资金将全部用完. 由(1.87a)式,可推出 $K_N=0$ :

$$\begin{array}{}\text{(1.87d)}& K=\frac{r}{q^N}\frac{q^N-1}{q-1}.\end{array}$$

若计算中期利息,且支付中期租金,最初的利息周期被分成 $m$ 个等间隔,则在公式 (1.85)-(1.87a) 中, $n$ 被 $mn$ 代替,相应地, $q=1+\frac{p}{100}$ 被 $q=1+\frac{p}{100m}$ 代替.

20 年间, 每月末应存多少钱, 才能使得 20 年内每月将收付租金€2000？利息周期是月,利率为 $0.5\mathrm{\%}$ .

由(1.87d)式,可推出 $n=20\cdot 12=240$ ,必须计算预期付款之和 $K$ : $K=\frac{2000}{{1.005}^{240}}\frac{{1.005}^{240}-1}{0.005}=\text{€}279161.54$ . 由 (1.85) 式,可给出必需的月储蓄额 $R$ : $R_{240}=279161.54=R\frac{{1.005}^{240}-1}{0.005}$ ,即 $R=\text{€}604.19$ .