7.2.3 绝对收敛和条件收敛

7.2.3.1 定义

级数 (7.12) 各项符号可能不同, 若 (7.12) 的各项均取原来的绝对值, 也可得到一个级数

\begin{matrix} (7.32) & | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} | + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |, \end{matrix}

若级数 (7.32) 收敛, 则原级数 (7.12) 也收敛 (这一命题对各复项级数也成立). 此时级数 (7.12) 称为绝对收敛. 若级数 (7.32) 发散, 则级数 (7.12) 可能发散也可能收敛, 若收敛, 则称 (7.12) 条件收敛.

$◼ A$ : 设 $α$ 为任意常数,

\begin{matrix} (7.33a) & \frac{\sin α}{2} + \frac{\sin 2 α}{2^{2}} + \dots + \frac{\sin n α}{2^{n}} + \dots \end{matrix}

绝对收敛,这是因为以 $| \frac{\sin n α}{2^{n}} |$ 为通项的绝对值级数收敛,此结果显然可通过与几何级数 (7.15) 相比较得到:

\begin{matrix} (7.33b) & | \frac{\sin n α}{2^{n}} | \leq \frac{1}{2^{n}} \end{matrix}

$◼ B$ : 级数

\begin{matrix} (7.34) & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots + {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{n} + \dots \end{matrix}

条件收敛. 事实上, 由 (7.36b), 该级数收敛, 而由各项的绝对值构成的级数通项是 $\frac{1}{n} = | a_{n} |$ ,它为发散的调和级数 (7.16).

7.2.3.2 绝对收敛级数的性质

1. 交换各项

a) 绝对收敛的级数可以任意交换各项的位置 (甚至可以交换无穷多项), 其和不变.

b) 条件收敛的级数交换无穷多项的位置不仅可能改变其和, 甚至可能改变其敛散性. 黎曼定理: 条件收敛的级数可通过改变各项的位置得到任意值,甚至 $\pm \infty$ .

2. 加减

多个绝对收敛级数可以对应项逐项相加或相减, 其结果仍绝对收敛.

3. 乘积

一个和式乘以另一个和式等于第一个因式中的各项与第二个因式中的各项乘积之和. 其中两项之积可按不同的方式列出, 最常见的是两个级数均为幂级数, 即

(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + \dots) (b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} + \dots)

= \underset{⏟}{a_{1} b_{1}} + \underset{⏟}{a_{2} b_{1} + a_{1} b_{2}} + \underset{⏟}{a_{3} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{1} b_{3}} + \dots

\begin{matrix} (7.35a) & + \underset{⏟}{a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}} + \dots . \end{matrix}

若两级数均绝对收敛, 则它们的乘积也绝对收敛, 因此两项乘积的顺序无论怎样,其和不变. 若 $\sum a_{n} = S_{a}, \sum b_{n} = S_{b}$ ,则这些乘积之和

\begin{matrix} (7.35b) & S = S_{a} S_{b} . \end{matrix}

若级数 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 与 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛, 且其中至少有一个绝对收敛, 则它们的乘积也收敛, 但不一定绝对收敛.

7.2.3.3 交错级数

1. 莱布尼茨交错级数审敛法 (莱布尼茨定理)

设 $a_{n}$ 为正数,若交错级数

\begin{matrix} (7.36a) & a_{1} - a_{2} + a_{3} - \dots \pm a_{n} \mp \dots \end{matrix}

满足:

(1) $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ;

(2) $a_{1} > a_{2} > a_{3} > \dots > a_{n} > \dots$ ,(7.36b)

则该级数收敛.

$◼$ 由此审敛法, 级数 (7.34) 收敛.

2. 交错级数的余项估计

考虑交错级数的前 $n$ 项,余项 $R_{n}$ 的符号与首先省略掉的 $a_{n + 1}$ 符号相同,且 $R_{n}$ 的绝对值小于 $| a_{n + 1} |$ :

\begin{matrix} (7.37a) & sign R_{n} = sign (a_{n + 1}), 其中 R_{n} = S - S_{n}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7.37b) & | S - S_{n} | < | a_{n + 1} | . \end{matrix}

级数

\begin{matrix} (7.38a) & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \pm \frac{1}{n} \mp \dots = \ln 2, \end{matrix}

余项的绝对值 $| \ln 2 - S_{n} | < \frac{1}{n + 1}$ .(7.38b)

7.2.3 绝对收敛和条件收敛 ​

7.2.3.1 定义 ​

7.2.3.2 绝对收敛级数的性质 ​

1. 交换各项 ​

2. 加减 ​

3. 乘积 ​

7.2.3.3 交错级数 ​

1. 莱布尼茨交错级数审敛法 (莱布尼茨定理) ​

2. 交错级数的余项估计 ​