2.7.3 振动的描述

2.7.3.1 问题表述

在工程和物理中常常会遇到如下由时间决定的量

$$\begin{array}{}\text{(2.136)}& u\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right),\end{array}$$

也称之为正弦量, 它们对时间的依赖产生谐振荡. 如图 2.39 所示, 式 (2.136) 是一般正弦曲线.

一般正弦曲线与简单正弦曲线 $y=\sin x$ 不同之处在于:

a) 振幅,即曲线上的点与时间轴 $t$ 的最大距离;

b) 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ,它对应波长 $(\omega$ 是振动的频率,在波动理论中称为角频率或径向频率);

c) 初始角 $\phi \ne 0$ 时的初相位或相位移.

量 $u\left(t\right)$ 也可以表示为

$$\begin{array}{}\text{(2.137)}& u\left(t\right)=a\sin \omega t+b\cos \omega t,\end{array}$$

其中 $a,b$ 满足 $A=\sqrt{a^2+b^2}$ 且 $\tan \phi =\frac{b}{a}.a,b,A$ 和 $\phi$ 可由直角三角形的边和角表示 (图 2.40).

2.7.3.2 振动的叠加

振动叠加中最简单的情况是两个具有相同频率的振动叠加, 得到的仍是具有相同频率的谐振荡:

$$\begin{array}{}\text{(2.138a)}& A_1\sin \left(\omega t+{\phi }_1\right)+A_2\sin \left(\omega t+{\phi }_2\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right),\end{array}$$

其中

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \left({\phi }_2-{\phi }_1\right)},$$$$\begin{array}{}\text{(2.138b)}& \tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2},\end{array}$$

此处 $A$ 和 $\phi$ 可由向量图 (图 2.41(a)) 来确定.

几个具有相同频率的正弦函数的线性组合也可能产生具有相同频率的一般正弦函数 (谐振荡):

$$\begin{array}{}\text{(2.138c)}& \sum _i{c}_i{A}_i\sin \left(\omega t+{\phi }_i\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right).\end{array}$$

2.7.3.3 振动的向量图

一般正弦曲线 (2.136),(2.137) 可由极坐标 $\rho =A,\phi$ 及笛卡儿坐标 $x=a,y=$ $b$ 在平面内简单表示出来 (参见第 255 页 3.5.2.1). 两个一般正弦曲线的和的形式与两向量和的形式相同 (图 2.41(a)), 类似地, 几个向量的和是几个一般正弦函数的线性组合, 这种表示称为向量图.

给定时间 $t$ ,利用图 2.41(b) 可由向量图得到 $u$ : 首先时间轴 $OP\left(t\right)$ 必须过原点且顺时针以恒角速度 $\omega$ 绕 $O$ 旋转,当 $t=0$ 时对应 $y$ 轴,接着对任意时刻 $t$ ,向量 $\overrightarrow{u}$ 在时间轴上的投影 $ON$ 都等于一般正弦函数 $u=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$ 的绝对值. 当 $t=0$ 时,在 $y$ 轴上的投影 $u_0=A\sin \phi$ (图 2.41(b)).

2.7.3.4 振荡的阻尼

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.139)}& u\left(t\right)=A{\mathrm{e}}^{-at}\sin \left(\omega t+{\phi }_0\right)\left(a,t>0\right)\end{array}$$

产生一阻尼振荡曲线(图 2.42).

随着曲线渐近地趋近 $t$ 轴,振动沿 $t$ 轴进行. 正弦曲线介于指数曲线 $u\left(t\right)=$ $\pm A{\mathrm{e}}^{-at}$ 之间,并与之在点

$$A_0,A_1,A_2,\cdots ,A_k=\left(\frac{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi -{\phi }_0}{\omega },{(-1)}^{k}A\exp \left(-a\frac{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi -{\phi }_0}{\omega }\right)\right)$$

相交, 与坐标轴的交点

$$B=\left(0,A\sin {\phi }_0\right),C_0,C_1,C_2,\cdots ,C_k=\left(\frac{k\pi -{\phi }_0}{\omega },0\right).$$

当 $t_k=\frac{k\pi -{\phi }_0+\alpha }{\omega }$ 时,有极值点 $D_0,D_1,D_2,\cdots$ ; 当 $t_k=\frac{k\pi -{\phi }_0+2\alpha }{\omega }$ 时,有拐点 $E_0,E_1,E_2,\cdots$ ,其中

$$\tan \alpha =\frac{\omega }{a}.$$

阻尼的对数衰减率 $\delta =\ln \left|\frac{y_i}{y_{i+1}}\right|=a\frac{\pi }{\omega }$ ,其中 $y_i$ 和 $y_{i+1}$ 是两个相继极值的纵坐标.