14.4.1 柯西积分定理的应用

借助于柯西积分定理可以计算某些实积分的值.

$◼$ 函数 $f\left(z\right)={\mathrm{e}}^z$ 在整个 $z$ 平面中是解析的,它可以用柯西积分公式 (14.42) 来表示,其中积分路径 $C$ 是中心为 $z$ ,半径为 $r$ 的圆周. 该圆周的方程为 $\zeta =z+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ . 从 (14.43) 即得

$${\mathrm{e}}^z=\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_C\frac{{\mathrm{e}}^{\zeta }}{{(\zeta -z)}^{n+1}}\mathrm{d}\zeta =\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\phi =0}^{\phi =2\pi }\frac{{\mathrm{e}}^{(z+r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi })}}{r^{n+1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi \left(n+1\right)}}\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\mathrm{d}\phi$$$$=\frac{n!}{2\pi r^n}{\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{z+r\cos \phi +\mathrm{i}r\sin \phi -\mathrm{i}n\phi }\mathrm{d}\phi ,$$

因而

$$\frac{2\pi r^n}{n!}={\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{r\cos \phi +\mathrm{i}\left(r\sin \phi -n\phi \right)}\mathrm{d}\phi ={\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{r\cos \phi }\left[\cos \left(r\sin \phi -n\phi \right)\right]\mathrm{d}\phi$$$$+\mathrm{i}{\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{r\cos \phi }\left[\sin \left(r\sin \phi -n\phi \right)\right]\mathrm{d}\phi .$$

比较实部和虚部,既然虚部为零,即有 ${\int }_0^{2\pi }{\mathrm{e}}^{r\cos \phi }\left[\cos \left(r\sin \phi -n\phi \right)\right]\mathrm{d}\phi =\frac{2\pi r^n}{n!}$ .