8.2.4 参数积分

8.2.4.1 参数积分的定义

定积分

$$\begin{array}{}\text{(8.90)}& {\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=F\left(y\right)\end{array}$$

是变量 $y$ 的函数,其中 $y$ 为参数. 在很多情况中,即使 $f\left(x,y\right)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的初等函数,函数 $F\left(y\right)$ 也不再是初等函数. 积分 (8.90) 可能是一个普通积分,或者是具有无限积分限或无界被积函数 $f\left(x,y\right)$ 的收敛的广义积分.

关于含一个参数的广义积分收敛性的理论说明可参见 [8.4].

$◼$ 伽马函数或第二类欧拉积分 (参见第 682 页 8.2.5, 6.)

$$\begin{array}{}\text{(8.91)}& \mathrm{\Gamma }\left(y\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{y-1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x\left(y>0\text{ 时收敛 }\right).\end{array}$$

8.2.4.2 积分符号下的微分

(1) 定理 若函数 (8.90) 在区间 $c\le y\le e$ 上有定义,函数 $f\left(x,y\right)$ 在矩形区域 $a\le x\le b,c\le y\le e$ 连续,且 $f\left(x,y\right)$ 关于 $y$ 有连续偏导数,则对 $\mathrm{\forall }y\in \left[c,e\right]$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(8.92)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x={\int }_a^b\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\mathrm{d}x,\end{array}$$

称之为积分符号下的微分.

$◼$ 对 $\mathrm{\forall }y>0,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_0^1\arctan \frac{x}{y}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{\partial }{\partial y}\left(\arctan \frac{x}{y}\right)\mathrm{d}x=-{\int }_0^1\frac{x\mathrm{d}x}{x^2+y^2}=$

$\frac{1}{2}\ln \frac{y^2}{1+y^2}$

验证: ${\int }_0^1\arctan \frac{x}{y}\mathrm{d}x=\arctan \frac{1}{y}+\frac{1}{2}y\ln \frac{y^2}{1+y^2}$ ;

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\arctan \frac{1}{y}+\frac{1}{2}y\ln \frac{y^2}{1+y^2}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{y^2}{1+y^2}.$$

当 $y=0$ 时, $f\left(x,y\right)$ 不满足连续性,因此不可导.

(2) 关于参数积分限的推广 若假设条件同 (8.92),函数 $\alpha \left(y\right)$ 和 $\beta \left(y\right)$ 在区间 $\left[c,e\right]$ 上有定义、连续、可微,且曲线 $x=\alpha \left(y\right)$ 和 $x=\beta \left(y\right)$ 包含在矩形 $a\le x\le$ $b,c\le y\le e$ 范围内,则 (8.92) 可推广为

$$\begin{array}{}\text{(8.93)}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}{\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha \left(y\right)}^{\beta \left(y\right)}\frac{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}\mathrm{d}x+{\beta }^{\prime }\left(y\right)f\left(\beta \left(y\right),y\right)-{\alpha }^{\prime }\left(y\right)f\left(\alpha \left(y\right),y\right).\end{array}$$

8.2.4.3 积分符号下的积分

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在矩形区域 $a\le x\le b,c\le y\le e$ 上连续,则函数 (8.90) 在区间 $\left[c,e\right]$ 上有定义,且

$$\begin{array}{}\text{(8.94)}& {\int }_c^e\left[{\int }_a^{b}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y={\int }_a^b\left[{\int }_c^{e}f\left(x,y\right)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x,\end{array}$$

这种积分次序的交换称为积分符号下的积分.

$◼\mathbf{A}$: 函数 $f\left(x,y\right)=x^y$ 在矩形区域 $0\le x\le 1,a\le y\le b$ 上积分. 函数在 $x=0,y=0$ 处不连续,但当 $a>0$ 时连续,因此可改变积分次序: ${\int }_a^b\left[{\int }_0^1{x}^y\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y=$ ${\int }_0^1\left[{\int }_a^b{x}^y\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x$ . 左边 $={\int }_a^b\frac{\mathrm{d}y}{1+y}=\ln \frac{1+b}{1+a}$ ,右边 $={\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x$ . 尽管相应的不定积分无法用初等函数来表示, 但定积分已知, 因此有

$${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln \frac{1+b}{1+a}\left(0<a<b\right).$$

$◼\mathbf{B}$: 函数 $f\left(x,y\right)=\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}$ 在矩形区域 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$ 上积分. 函数在点(0,0)处不连续,因此不能利用公式 (8.94),经判断有

$${\int }_0^1\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\mathrm{d}x={\frac{x}{x^2+y^2}|}_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{1+y^2};{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}y}{1+y^2}={\arctan y|}_0^1=\frac{\pi }{4};$$$${\int }_0^1\frac{y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\mathrm{d}y=-{\frac{y}{x^2+y^2}|}_{y=0}^{y=1}=-\frac{1}{x^2+1};-{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}=-{\arctan x|}_0^1=-\frac{\pi }{4}.$$