4.3.1 坐标系的变换

1. 线性变换

由线性变换

$$\begin{array}{}\text{(4.66)}& \widetilde{\underset{―}{\mathbf{x}}}=\mathbf{A}\underset{―}{\mathbf{x}}\text{ 或 }\{\begin{array}{l}{\tilde{x}}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3,\\ {\tilde{x}}_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3,\\ {\tilde{x}}_3=a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3\end{array}\end{array}$$

定义三维空间中的坐标变换,其中 $x_{\mu }$ 和 ${\tilde{x}}_{\mu }\left(\mu =1,2,3\right)$ 是同一个点在不同的坐标系 $K$ 和 $\tilde{K}$ 中的坐标.

2. 爱因斯坦求和约定

代替 (4.66), 我们可以写出

$$\begin{array}{}\text{(4.67a)}& {\tilde{x}}_{\mu }=\sum _{\nu =1}^3{a}_{\mu \nu }{x}_{\nu }\left(\mu =1,2,3\right)\end{array}$$

或者依照爱因斯坦求和约定, 简写为

$$\begin{array}{}\text{(4.67b)}& {\tilde{x}}_{\mu }=a_{\mu \nu }{x}_{\nu },\end{array}$$

即它是对于重复的指标 $\nu$ 求和,并且对 $\mu =1,2,3$ 记下求和的结果. 一般地,求和约定的意义是: 如果在一个表达式中某个指标重复出现两次, 那么这个表达式是对这个指标的所有值做加法. 如果在一个方程的表达式中某个指标只出现一次, 例如 (4.67b) 中的 $\mu$ ,那么就意味着这个等式对这个指标的所有值都成立.

3. 坐标系的旋转

如果笛卡儿坐标系 $\tilde{K}$ 是通过坐标系 $K$ 的旋转给出的,那么对于 (4.66) 中的变换矩阵 $\mathbf{A}=\mathbf{D}$ 成立,其中 $\mathbf{D}=\left(d_{\mu \nu }\right)$ 是正交旋转矩阵. 正交旋转矩阵 $\mathbf{D}$ 有性质

$$\begin{array}{}\text{(4.68a)}& {\mathbf{D}}^{-1}={\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}.\end{array}$$

$\mathbf{D}$ 的元素 $d_{\mu \nu }$ 是老轴与新轴间的夹角的方向余弦. 由 $\mathbf{D}$ 的正交性,即由

$$\begin{array}{}\text{(4.68b)}& \mathbf{D}{\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{I},\text{ 以及 }{\mathbf{D}}^{\mathrm{T}}\mathbf{D}=\mathbf{I},\end{array}$$

可推出

$$\begin{array}{}\text{(4.68c)}& \sum _{i=1}^3{d}_{\mu i}{d}_{\nu i}={\delta }_{\mu \nu },\sum _{i=1}^3{d}_{k\mu }{d}_{k\nu }={\delta }_{\mu \nu }\left(\mu ,\nu =1,2,3\right).\end{array}$$

因为 ${\delta }_{\mu \nu }$ 是克罗内克符号 (参见第 364 页 4.1.2,10),所以等式 (4.68c) 表明矩阵 $\mathbf{D}$ 的行向量和列向量是正交化的.

旋转矩阵 $\mathbf{D}$ 的元素 $d_{\mu \nu }$ 可以由卡当 (Cardan) 角 (参见第 287 页 3.5.3.5) 或欧拉角 (参见第 289 页 3.5.3.6) 确定. 关于平面旋转, 参见第 256 页 3.5.2.2, 2.; 关于空间旋转, 参见第 284 页 3.5.3.3.