8.1.4 无理函数的积分

8.1.4.1 利用代换化为有理函数的积分

无理函数并不总能用初等方法进行积分, 1382 页的表 21.7 列出了大量无理函数的积分. 其中最简单的情况如表 8.3 所示, 即通过代换把无理函数的积分化成有理函数的积分.

积分*	代换
$\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+e}}\right)\mathrm{d}x$	$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+e}}=t$
$\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+e}},\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+e}}\right)\mathrm{d}x$	$\sqrt[r]{\frac{ax+b}{cx+e}}=t$ ,其中 $r$ 为 $m,n,\cdots$ 的最小公 倍数
$\int R\left(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}\right)\mathrm{d}x$ (1) $a>0^{†}$ (2) $c>0$ (3) 若多项式 $a{x}^2+bx+c$ 有不同实根: $a{x}^2+bx+c=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)$	三种欧拉代换之一: $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$ $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$ $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t\left(x-\alpha \right)$

• 符号 $R$ 表示括号中表达式的有理函数. $n,m,\cdots$ 是整数.

†若 $a<0$ ,且多项式 $a{x}^2+bx+c$ 有复根,则对每个实数 $x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 均为虚数,所

以被积函数对任意 $x$ 都无定义,此时积分无意义.

因为二次多项式 $a{x}^2+bx+c$ 总可以写成两个完全平方的和或差,故积分 $\int R\left(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}\right)\mathrm{d}x$ 可化为下面三种形式之一:

$$\begin{array}{}\text{(8.19a)}& \int R\left(x,\sqrt{x^2+{\alpha }^2}\right)\mathrm{d}x\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.19b)}& \int R\left(x,\sqrt{x^2-{\alpha }^2}\right)\mathrm{d}x\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.19c)}& \int R\left(x,\sqrt{{\alpha }^2-x^2}\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

接下来, 可作表 8.4 中给出的代换.

$◼\mathbf{A}$: $4x^2+16x+17=4\left(x^2+4x+4+\frac{1}{4}\right)=4\left[{(x+2)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]=4\left[x_1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]$ , 其中 $x_1=x+2$ .

$◼\mathbf{B}$: $x^2+3x+1=x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{5}{4}={(x+\frac{3}{2})}^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2=x_1^2-{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2$ ,其中 $x_1=x+\frac{3}{2}$ .

$◼\mathbf{C}$: $-x^2+2x=1-x^2+2x-1=1^2-{(x-1)}^2=1^2-x_1^2$ ,其中 $x_1=x-1$ .

积分	代换
$\int R\left(x,\sqrt{x^2+{\alpha }^2}\right)\mathrm{d}x$
$\int R\left(x,\sqrt{x^2-{\alpha }^2}\right)\mathrm{d}x$	或 $x=\alpha \sec t$
$\int R\left(x,\sqrt{{\alpha }^2-x^2}\right)\mathrm{d}x$	或 $x=\alpha \cos t$

8.1.4.2 二项被积函数积分

形如

$$\begin{array}{}\text{(8.20)}& x^m{(a+b{x}^n)}^p\end{array}$$

的表达式称为二项被积函数,其中 $a,b$ 为任意实数, $m,n,p$ 为任意正或负有理数. 由切比雪夫定理可知, 积分

$$\begin{array}{}\text{(8.21)}& \int x^m{(a+b{x}^n)}^p\mathrm{d}x\end{array}$$

仅在下述 3 种情况下能够用初等函数表示:

情况 1 若 $p$ 为整数,则表达式 ${(a+b{x}^n)}^p$ 能用二项式定理展开,因此去掉括号之后的被积函数为形如 $c{x}^k$ 的各项之和,很容易进行积分.

情况 2 若 $\frac{m+1}{n}$ 为整数,可作代换 $t=\sqrt[r]{a+b{x}^n},r$ 为分数 $p$ 的分母,则积分 (8.21) 可化为有理函数的积分.

情况 3 若 $\frac{m+1}{n}+p$ 为整数,可作代换 $t=\sqrt[r]{\frac{a+b{x}^n}{x^n}},r$ 为分数 $p$ 的分母, 则积分 (8.21) 可化为有理函数的积分.

$$\text{A:}\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\int x^{-1/2}{(1+x^{1/4})}^{1/3}\mathrm{d}x;m=-\frac{1}{2},n=\frac{1}{4},p=\frac{1}{3}\text{,}$$

$\frac{m+1}{n}=2$ ,(情况 2): 作代换 $t=\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}},x={(t^3-1)}^4,\mathrm{d}x=12t^2{(t^3-1)}^3\mathrm{d}t$ ;

$$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=12\int \left(t^6-t^3\right)\mathrm{d}t=\frac{3}{7}{t}^4\left(4t^3-7\right)+C.$$

$◼\mathbf{B}$: $\int \frac{x^3\mathrm{d}x}{\sqrt[4]{1+x^3}}=\int x^3{(1+x^3)}^{-1/4}\mathrm{d}x:m=3,n=3,p=-\frac{1}{4};\frac{m+1}{n}=\frac{4}{3}$ ,$\frac{m+1}{n}+p=\frac{13}{12}$

因为不满足上述三个条件, 所以该积分不是初等函数.

8.1.4.3 椭圆积分

1. 不定椭圆积分

形如

$$\begin{array}{}\text{(8.22)}& \int R\left(x,\sqrt{a{x}^3+b{x}^2+cx+e}\right)\mathrm{d}x,\int R\left(x,\sqrt{a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+ex+f}\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

的积分称为椭圆积分. 椭圆积分通常不能用初等函数来表示; 若一旦能用初等函数表示, 该积分称为伪椭圆积分. 这类积分的名称源于最初对椭圆弧长的计算 (参见第 667 页, 8.2.2.2, 2.). 椭圆积分的反函数称为椭圆函数 (参见第 995 页 14.6.1). 对于不能用初等方法积分的形如 (8.22) 的积分, 可以通过一系列变换化简成初等函数或以下三种类型的积分 (参见 [21.1], [21.2], [21.6]):

$$\begin{array}{}\text{(8.23a)}& \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2{t}^2\right)}}\left(0<k<1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.23b)}& \int \frac{\left(1-k^2{t}^2\right)\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2{t}^2\right)}}\left(0<k<1\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.23c)}& \int \frac{\mathrm{d}t}{\left(1+n{t}^2\right)\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2{t}^2\right)}}\left(0<k<1\right).\end{array}$$

对于 (8.23c) 中的参数 $n$ ,必须视情况加以区分 (参见 [14.1]).

通过代换 $t=\sin \phi \left(0<\phi <\frac{\pi }{2}\right)$ ,积分(8.23a,8.23b,8.23c)可以转换成勒让德形式:

第一类椭圆积分 $\int \frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$ ;(8.24a)

第二类椭圆积分 $\int \sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }\mathrm{d}\phi$ ;(8.24b)

第三类椭圆积分 $\int \frac{\mathrm{d}\phi }{\left(1+n{\sin }^2\phi \right)\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$ .(8.24c)

2. 定椭圆积分

与不定椭圆积分相对应的积分下限为 0 的定积分记为

$$\begin{array}{}\text{(8.25a)}& {\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}\psi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }}=F\left(k,\phi \right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.25b)}& {\int }_0^{\phi }\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }\mathrm{d}\psi =E\left(k,\phi \right),\end{array}$$

${\int }_0^{\phi }\frac{\mathrm{d}\psi }{\left(1+n{\sin }^2\psi \right)\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }}=\mathrm{\Pi }\left(n,k,\phi \right)$ (在这三种积分中,均有 $0<k<1$ ).(8.25c)这三类积分分别称为第一类、第二类和第三类不完全椭圆积分. 当 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 时,前两类称为完全椭圆积分, 记为

$$\begin{array}{}\text{(8.26a)}& K=F\left(k,\frac{\pi }{2}\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\mathrm{d}\psi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }},\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(8.26b)}& E=E\left(k,\frac{\pi }{2}\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\psi }\mathrm{d}\psi .\end{array}$$

表 21.9.1 - 表 21.9.3 给出了第一类与第二类不完全椭圆积分值 $F$ 和 $E$ ,以及完全椭圆积分值 $K$ 与 $E.K$ 与 $E$ 的级数展开式可参见第 683 页8.2.5,7.

$◼$ 通过椭圆弧长的计算,可得第二类完全椭圆积分为离心率 $e$ 的函数 (参见第 668 页 8.2.2.2,2.). 当 $a=1.5,b=1$ 时, $e=0.74$ . 又 $e=k=0.74$ ,由 1425 页表 21.9.3,有 $\sin \alpha =0.74$ ,即 $\alpha \approx {48}^{\circ }$ ,且 $E\left(k,\frac{\pi }{2}\right)=E\left(0.74\right)=1.3238$ . 由此 $U=4aE\left(0.74\right)\approx 4aE\left(\alpha \approx {48}^{\circ }\right)=4\cdot 1.3238a\approx 7.94$ . 利用数值积分可进一步近似成 7.932711.