14.4.3 若尔当引理的应用

14.4.3.1 若尔当引理

在许多情形中, 可以用沿一条闭曲线的复积分来计算具有无限积分区间的实反常积分. 为了避免总是反复地估计, 若尔当引理 (Jordan lemma) 被用到形如

$$\begin{array}{}\text{(14.57a)}& {\int }_{C_R}f\left(z\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}\mathrm{d}z\end{array}$$

的反常积分上,其中 $C_R$ 是以 $z$ 平面的上半平面中心为原点,半径为 $R$ 的半圆弧 (图 14.46). 若尔当引理区分下述 3 种情形:

**a) $\alpha \ast \ast >0$ 如果在上半平面以及在实轴上,当 $\left|z\right|\to \mathrm{\infty }$ 时, $f\left(z\right)$ 一致地趋于零,并且 $\alpha >0$ ,则当 $R\to \mathrm{\infty }$ 时有

$$\begin{array}{}\text{(14.57b)}& {\int }_{C_R}f\left(z\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}\mathrm{d}z\to 0.\end{array}$$

**b) $\alpha \mathbf{\ast }\mathbf{\ast }=\mathbf{0}$ 如果当 $\left|z\right|\to \mathrm{\infty }$ 时表达式 $zf\left(z\right)$ 一致地趋于零,则上述陈述 (14.57b)在 $\alpha =0$ 时亦成立.

**c) $\alpha \mathbf{\ast }\mathbf{\ast }<\mathbf{0}$ 如果半圆 $C_R$ 在实轴之下,则相应于 (14.57b) 的陈述对于 $\alpha <0$ 亦成立.

d) 如果用一个弧段代替完整的半圆, 陈述 (14.57b) 亦成立.

e) 当 $C_R^{\ast }$ 是左半平面中的半圆或一个弧段,而 $\alpha >0$ ,或在右半平面而 $\alpha <0$ , 则对于形如

$$\begin{array}{}\text{(14.57c)}& {\int }_{C_R^{\ast }}f\left(z\right){\mathrm{e}}^{\alpha z}\mathrm{d}z\end{array}$$

的积分, 相应于 (14.57b) 的陈述成立.

14.4.3.2 若尔当引理的例子

1. 求积分

$$\begin{array}{}\text{(14.58a)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sin \alpha x}{x^2+a^2}\mathrm{d}x\left(\alpha >0,a\ge 0\right).\end{array}$$

对于上面的实积分, 以下述复积分与其相联:

$$2\mathrm{i}{\int }_0^R\underset{\text{偶函数 }}{\underbrace{\frac{x\sin \alpha x}{x^2+a^2}}}\mathrm{d}x=\mathrm{i}{\int }_{-R}^R\frac{x\sin \alpha x}{x^2+a^2}\mathrm{d}x+\underset{=0\text{ (奇被积函数) }}{\underbrace{{\int }_{-R}^R\frac{x\cos \alpha x}{x^2+a^2}\mathrm{d}x}}={\int }_{-R}^R\frac{x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha x}}{x^2+a^2}\mathrm{d}x.$$

(14.58b)

最后一个积分是复积分 ${\oint }_C\frac{z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}}{z^2+a^2}\mathrm{d}z$ 的一部分. 曲线 $C$ 包含上面定义的半圆 $C_R$ 和实轴上在值 $-R$ 与 $R\left(R>a\right)$ 之间的部分. 这个复积分的复被积函数在上半平面中只有唯一的奇点 $z=a\mathrm{i}$ . 由留数定理即得: $I={\oint }_C\frac{z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}}{z^2+a^2}\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\underset{z\to a\mathrm{i}}{lim}[\frac{z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}}{z^2+a^2}$ $\left(z-a\mathrm{i}\right)]=2\pi \mathrm{i}\underset{z\to a\mathrm{i}}{lim}\frac{z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}}\alpha z}{z+a\mathrm{i}}=\pi {\mathrm{ie}}^{-\alpha a}$ ,因而 $I={\int }_{C_R}\frac{z{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}}{z^2+a^2}\mathrm{d}z+{\int }_{-R}^R\frac{x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha x}}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=$ $\pi {\mathrm{ie}}^{-\alpha a}$ . 从 $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}I$ 和若尔当引理即得

$$\begin{array}{}\text{(14.58c)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\sin \alpha x}{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\mathrm{e}}^{-\alpha a}\left(\alpha >0,a\ge 0\right).\end{array}$$

用类似的方法可以计算一些别的积分 (见第 1418 页表 21.8).

2. 正弦积分 (亦见第 681 页 $8.2.5,1.,\left(8.95\right)$ )

积分 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$ 被称为正弦积分 (sine integral) 或积分正弦 (integral sine). 类似于上一个例子,考察复积分 $I={\oint }_{C_R}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z$ ,其中曲线 $C_R$ 如图 14.47 所示 ${}^{\text{①}}$ . 此复积分的被积函数在 $z=0$ 处有一个一阶极点,因而 $I=2\pi \mathrm{i}\underset{z\to 0}{lim}\left[\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}z\right]=2\pi \mathrm{i}$ ,因而 $I=2\mathrm{i}{\int }_r^R\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x+\mathrm{i}{\int }_{\pi }^{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}r\left(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi \right)}\mathrm{d}\phi +{\int }_{C_R}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}$ . 当 $R\to \mathrm{\infty },r\to 0$ 时,计算 $I$ 的极限,其中第 2 个积分当 $r\to 0$ 时关于 $\phi$ 一致地趋于 ${\pi }^{\left(2\right)}$ ,即此极限过程 $r\to 0$ 可以在积分号下完成. 利用若尔当引理即得

$$\begin{array}{}\text{(14.59)}& 2\mathrm{i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x+\pi \mathrm{i}=2\pi \mathrm{i},\text{ 因而 }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

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①这里的 $C_R$ 应是一条闭曲线,它由图 14.47 中的大的半圆 $C_R$ ,实轴上的两个线段 $r<\left|x\right|<R$ ,以及图 14.47 中实轴下方的半圆组成. 而下文积分限中的 $C_R$ 只是图 14.47 中的大的半圆 $C_R$ . —— 译者注

②原文把 $\pi$ 误为 1. ——译者注

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3. 阶梯函数

间断的实函数可以表示为复积分. 所谓的阶梯函数 (step function) (亦见第 1011 页 15.2.1.3) 就是一个例子:

$$\begin{array}{}\text{(14.60)}& F\left(t\right)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{-⌣\to }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}tz}}{z}\mathrm{d}z=\{\begin{array}{ll}1,& t>0,\\ 1/2,& t=0,\\ 0,& t<0.\end{array}\end{array}$$

符号 $-⌣\to$ 表示沿着实轴 $\left(\left|R\right|\to \mathrm{\infty }\right)$ 向下绕开原点的积分路径 (图 14.47).

如果 $t$ 表示时间,则函数 $\mathrm{\Phi }\left(t\right)=cF\left(t-t_0\right)$ 表示在时刻 $t=t_0$ 处从 0 通过值 $c/2$ 跳到值 $c$ 的函数. 它被称为阶梯函数,也被称为赫维赛德函数 (Heaviside function). 在电工学中它被用来描述电压或电流突跳.

4. 矩形脉冲

矩形脉冲 (亦见第 1012 页 15.2.1.3) 是复积分和若尔当引理的又一个例子:

$$\begin{array}{}\text{(14.61)}& \mathrm{\Psi }\left(t\right)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{-⌣\to }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(b-t\right)z}}{z}\mathrm{d}z-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{-⌣\to }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(a-t\right)z}}{z}\mathrm{d}z=\{\begin{array}{ll}0,& t<a\text{ 和 }t>b,\\ 1,& a<t<b,\\ 1/2,& t=a\text{ 和 }t=b.\end{array}\end{array}$$

5. 菲涅耳积分

为了推导菲涅耳积分 (Fresnel integral)

$$\begin{array}{}\text{(14.62)}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin \left(x^2\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos \left(x^2\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi /2},\end{array}$$

必须考察沿展示在图 14.48 中闭积分路径的积分 $I={\int }_K{\mathrm{e}}^{-z^2}\mathrm{d}z$ . 根据柯西积分定理,有 $I=I_{\mathrm{I}}+I_{\mathrm{II}}+I_{\mathrm{III}}=0$ ,其中 $I_{\mathrm{I}}={\int }_0^R{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x,I_{\mathrm{II}}=\mathrm{i}R{\int }_0^{\pi /4}{\mathrm{e}}^{-R^2\left(\cos 2\phi +\mathrm{i}\sin 2\phi \right)+\mathrm{i}\phi }\mathrm{d}\phi$ , $I_{\mathrm{III}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}{\int }_R^0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{r}^2}\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\sqrt{2}\left(1+\mathrm{i}\right)\left[\mathrm{i}{\int }_0^R\sin r^2\mathrm{d}r-{\int }_0^R\cos r^2\mathrm{d}r\right]\cdot I_{\mathrm{II}}$ 的估计: 由于 $\left|\mathrm{i}\right|=\left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\tau }\right|=1$ ( $\tau$ 为实数),即得

$$\left|I_{\mathrm{II}}\right|\le R{\int }_0^{\pi /4}{\mathrm{e}}^{-R^2\cos 2\phi }\mathrm{d}\phi =\frac{R}{2}{\int }_0^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \phi }\mathrm{d}\phi +\frac{R}{2}{\int }_{\alpha }^{\pi /2}{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \phi }\mathrm{d}\phi$$$$<\frac{R}{2}{\int }_0^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \alpha }\mathrm{d}\phi +\frac{R}{2}{\int }_{\alpha }^{\pi /2}\frac{\sin \phi }{\sin \alpha }{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \phi }\mathrm{d}\phi$$$$<\frac{\alpha R}{2}{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \alpha }+\frac{1-{\mathrm{e}}^{-R^2\cos \alpha }}{2R\sin \alpha }\left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right).$$

施行极限过程 $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}I$ 即给出积分 $I_{\mathrm{I}}$ 和 $I_{\mathrm{II}}$ 的值: $\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_{\mathrm{I}}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi },\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_{\mathrm{II}}=0$ . 分离实部和虚部即可得到所给的公式 (14.62).